Algebraische Zahlentheorie/Differente/Einführung/Textabschnitt

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}n$-dimensionaler ${}K$-Vektorraum Es sei ${}\Phi$ eine symmetrische Bilinearform auf ${}V$. Dann definiert jeder Vektor ${}v\in V$ über

$\Phi (v,-)\colon V\longrightarrow K,\,u\longmapsto \Phi (v,u),$

eine Linearform auf ${}V$, also ein Element des Dualraumes ${}{V}^{*}$. Wenn die Bilinearform ${}\Phi$ nichtausgeartet ist, so kann man jede Linearform so realisieren, siehe Fakt, das zugehörige ${}v$ heißt dann der Gradient der Linearform. Wenn ${}K\subseteq L$ eine endliche Körpererweiterung ist, so ist die Spurform auf ${}L$, also die Abbildung

$L\times L\longrightarrow K,\,(x,y)\longmapsto \operatorname {Spur} {\left(xy\right)},$

eine besondere und natürliche symmetrische Bilinearform, die nicht ausgeartet ist, falls die Körpererweiterung separabel ist.

Es sei ${}R\subseteq Q(R)=K$ und wieder ${}V$ ein ${}n$-dimensionaler ${}K$-Vektorraum, versehen mit einer symmetrischen Bilinearform. Zu einem ${}R$-Untermodul ${}U\subseteq V$ setzt man

${}U^{*}={\left\{v\in V\mid \Phi (v,u)\in R{\text{ für alle }}u\in U\right\}}\,$

und nennt dies den Dualmodul zu ${}U$ (bezüglich der fixierten Bilinearfrom und dem fixierten Unterring). Man denke etwa an ${}R=\mathbb {Z}$, ${}V=L$ einer endlichen Körpererweiterung von ${}\mathbb {Q}$, an ein gebrochenes Ideal ${}U={\mathfrak {a}}$ und an die Spurform.

Definition

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich, ${}Q(R)\subseteq L$ eine separable endliche Körpererweiterung, ${}S$ der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}K$ und ${}{\mathfrak {a}}$ ein gebrochenes Ideal von ${}S$. Man nennt

${}{\mathfrak {a}}^{*}={\left\{f\in L\mid \operatorname {Spur} {\left(fa\right)}\in R{\text{ für alle }}a\in {\mathfrak {a}}\right\}}\,$

die Kodifferente zu ${}{\mathfrak {a}}$.

Zum Einheitsideal

${}{\mathfrak {a}}=S\,$

nennt man die Kodifferente des Ideals auch die Kodifferente von ${}S$ oder den Dedekindschen Komplementärmodul.

Lemma

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich, ${}Q(R)\subseteq L$ eine separable endliche Körpererweiterung, ${}S$ der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}K$.

Dann ist die Kodifferente zu einem gebrochenen Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ von ${}S$ ein gebrochenes Ideal von ${}S$.

Beweis

Separable Erweiterung/Gebrochenes Ideal/Kodifferente/Spurdual/Eigenschaften/Fakt/Beweis

$\Box$

Lemma

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich, ${}Q(R)\subseteq L$ eine separable endliche Körpererweiterung, ${}S$ der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}K$.

Dann ist

${\mathfrak {a}}^{*}\longrightarrow \operatorname {Hom} _{R}{\left({\mathfrak {a}},R\right)},\,f\longmapsto {\left(a\mapsto \operatorname {Spur} {\left(af\right)}\right)},$

ein ${}S$-Modulisomorphismus zwischen der Kodifferente zum gebrochenen Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ und dem angegebenen Homomorphismenmodul.

Beweis

Die ${}S$-Modulstruktur auf der Homomorphismenmenge ist durch

${}(s\varphi )(a):=\varphi (sa)\,$

festgelegt. Nach der Definition der Kodifferente legt ${}a\in {\mathfrak {a}}^{*}$ in der Tat eine Abbildung nach ${}S$ fest. Die Injektivität folgt aus der vorausgesetzten Separabilität. Zum Nachweis der Surjektivität sei eine ${}R$-lineare Abbildung

$\theta \colon {\mathfrak {a}}\longrightarrow R$

gegeben. Diese können wir aufgrund der universellen Eigenschaft der Nenneraufnahme zu einer ${}K$-linearen Abbildung

$\theta \colon {\mathfrak {a}}_{R\setminus \{0\}}\cong L\longrightarrow R_{R\setminus \{0\}}\cong K$

fortsetzen, wobei der Isomorphismus links auf dem Beweis zu Fakt beruht. Da die Spur im separablen Fall eine nichtausgeartete Bilinearform definiert, gibt es ein ${}f\in L$ mit

${}\theta (x)=\operatorname {Spur} {\left(f\cdot x\right)}\,.$

$\Box$

Definition

Es sei ${}R$ ein Dedekindbereich, ${}Q(R)\subseteq L$ eine separable endliche Körpererweiterung, ${}S$ der ganze Abschluss von ${}R$ in ${}K$ und ${}{\mathfrak {a}}$ ein gebrochenes Ideal von ${}S$. Man nennt das inverse gebrochene Ideal zur Kodifferente, also ${}{\left({\mathfrak {a}}^{*}\right)}^{-1}$, die Differente zu ${}{\mathfrak {a}}$.

Die Differente zum Einheitsideal heißt wieder die Differente schlechthin zu ${}S$.

Definition

Separable Erweiterung/Differente/Spurdual/Definition