Basiswechsel/Lineare Abbildung/Textabschnitt

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Lemma  

Es sei ein Körper und ein -Vektorraum der Dimension . Es seien und zwei Basen von . Es sei

mit den Koeffizienten , die wir zur -Matrix

zusammenfassen.

Dann hat ein Vektor , der bezüglich der Basis die Koordinaten besitzt, bezüglich der Basis die Koordinaten

Beweis  

Dies folgt direkt aus

und der Definition der Matrizenmultiplikation.


Man kann diese Aussage auch so auffassen: Zu den beiden Basen gehören die bijektiven linearen Abbildungen

(die jeweils die Standardvektoren auf die Basisvektoren schicken). Dann ist

ebenfalls eine bijektive lineare Abbildung, und diese wird bezüglich der Standardbasis durch beschrieben. Die Matrix, die den Basiswechsel beschreibt, nennt man auch die Übergangsmatrix.



Lemma  

Es sei ein Körper und es seien und endlichdimensionale -Vektorräume. Es seien und Basen von und und Basen von . Es sei

eine lineare Abbildung, die bezüglich der Basen und durch die Matrix beschrieben werde.

Dann wird bezüglich der Basen und durch die Matrix

beschrieben, wobei und die Übergangsmatrizen sind, die die Basiswechsel von nach und von nach beschreiben.

Beweis  

Die linearen Standardabbildungen bzw. zu den Basen seien mit bezeichnet. Wir betrachten das kommutative Diagramm

wobei die Kommutativität auf Fakt und Fakt beruht. In dieser Situation ergibt sich insgesamt




Korollar  

Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler -Vektorraum. Es sei

eine lineare Abbildung. Es seien und Basen von .

Dann besteht zwischen den Matrizen, die die lineare Abbildung bezüglich bzw. (beidseitig) beschreiben, die Beziehung

Beweis  

Dies folgt direkt aus Fakt.


Es ist ein wichtiger Aspekt, zu einer gegebenen linearen Abbildung eines Vektorraumes in sich selbst eine Basis zu finden, bezüglich der die beschreibende Matrix „möglichst einfach“ wird. Dieses Problem ist äquivalent damit, zu einer quadratischen Matrix eine invertierbare Matrix zu finden derart, dass möglichst einfach ist.