Benutzer:Bocardodarapti/Arbeitsseite/Riemannsche Flächen

Aufgabe

Es sei ${}p^{r}$ eine Primzahlpotenz, ${}G=\mathbb {Z} /(p^{r})$ und ${}k\in \mathbb {Z} /(p^{r})$. Es sei ${}X={\mathbb {C} }^{\times }$. Wir ordnen ${}k$ eine ${}G$-Überlagerung ${}p\colon Y\rightarrow X$ in der folgenden Weise induktiv über ${}r$ zu: Wenn ${}k$ eine Einheit ist, so ist ${}Y={\mathbb {C} }^{\times }$, die Abbildung ist die Potenzierung ${}z\mapsto z^{p^{r}}$ und die ${}G$-Operation ist dadurch gegeben, dass der Erzeuger der Gruppe als Multiplikation mit ${}\zeta ^{k}$ wirkt, wobei ${}\zeta$ eine fixierte ${}p^{r}$-te primitive Einheitswurzel ist. Wenn ${}k$ keine Einheit ist, so gehört ${}k$ zu dem von ${}p$ erzeugten Ideal und man kann

${}k=k'p\,$

mit ${}k'\in \mathbb {Z} /(p^{r-1})$ schreiben. Es sei ${}q\colon Z\rightarrow X$ die zu ${}k'$ gehörige ${}\mathbb {Z} /(p^{r-1})$-Überlagerung. Dann nimmt man die ${}p$-fache disjunkte Vereinigung von ${}Z$ und lässt den Erzeuger so operieren, dass er die ${}Z$ zyklisch ineinander überführt und gleichzeitig die ${}\mathbb {Z} /(p^{r-1})$-Operation ausführt (wobei aber das Ergebnis in die nächste Kopie verschoben wird).

Über die logarithmische Ableitung gibt es ein kommutatives Diagramm von Garben (siehe auch Fakt)

${\begin{matrix}1&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&{\mathcal {O}}_{X}^{\times }&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&{\mathcal {M}}_{X}^{\times }&{\stackrel {div}{\longrightarrow }}&\operatorname {Div} _{X}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&0&\\\downarrow &&\!\!\!\!\!dlog\downarrow &&\downarrow dlog\!\!\!\!\!&&\downarrow &&\downarrow &\\0&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&\Omega _{X}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&{\mathcal {M}}_{X}^{(1)}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&{\mathcal {T}}_{X}^{(1)}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&0&\!\!\!\!\!.\end{matrix}}$

Rechts wird der multiplikative punktweise Hauptteil ${}[z^{n}]$ (der dem Divisor mit dem Wert ${}n$ an diesem Punkt entspricht) auf ${}nz^{-1}dz$ abgebildet. Das Bild in der Mitte gehört zu den Differentialformen dritter Gattung.

Eine ${}{\mathbb {C} }$-wertige reell differenzierbare Funktion

$f\colon M\longrightarrow {\mathbb {C} }$

definiert eine ${}\mathbb {R}$-lineare Abbildung

$T_{P}(f)=d_{P}f\colon T_{P}M\longrightarrow T_{f(P)}{\mathbb {C} }={\mathbb {C} }$

und diese besitzt eine Zerlegung in einen ${}{\mathbb {C} }$-linearen (holomorphen) und einen ${}{\mathbb {C} }$-antilinearen (antiholomorphen) Anteil. Wir schreiben

${}d_{P}f=d_{P}^{h}f+d_{P}^{a}f\,$

für diese Zerlegung.

Gitter/Komplexe Zahlen/Streckungsäquivalent/Einführung/Textabschnitt

Gitter/Komplexe Zahlen/Isogenien/Einführung/Textabschnitt

Wir erweitern drei Definitionen aus der Überlagerungstheorie auf die Situation von endlichen holomorphen Abbildungen.

Definition

Riemannsche Fläche/Endliche Abbildung/Decktransformation/Definition

Definition

Riemannsche Fläche/Endliche Abbildung/Decktransformationsgruppe/Definition

Definition

Riemannsche Fläche/Endliche Abbildung/Normal/Definition

Satz

Es sei ${}p\colon E\to X$ eine Überlagerung, ${}H\colon Y\times I\to X$ eine Homotopie und ${}f\colon Y\to E$ eine stetige Abbildung mit der Eigenschaft, dass ${}p(f(y))=H(y,0)$ gilt für alle ${}y\in Y$. Dann gibt es genau eine

Homotopie

${}F\colon Y\times I\to E\,$

mit der Eigenschaft, dass

${}p\circ F=H$ und ${}F(y,0)=f(y)$ für alle ${}y\in Y$.

Beweis

Topologie/Überlagerungen/Homotopie-Liftung/Fakt/Beweis

$\Box$

Bemerkung  

Es sei ${}X$ eine kompakte orientierte Fläche mit ${}g$ Henkeln. Zu jeden Henkel gibt es eine stetige surjektive Abbildung auf eine Fläche mit ${}g-1$ Henkeln, die diesen Henkel kontrahiert. Man denke sich den Henkel einfach als Henkel über einer Ebene (einem Kreisausschnitt) und projiziere den Henkel nach unten in die Ebene. So kann man die Fläche auf einen Torus stetig und surjektiv abbilden, wobei ein Henkel erhalten bleibt. Zu jedem Henkel gibt es zwei Abbildungen von ${}S^{1}$ in den Henkel, quer zum Henkel und längs zum Henkel. Es gibt dann zu jedem Henkel und jedem einfach geschlossenen Weg auf dem Henkel eine stetige Abbildung

$S^{1}\longrightarrow X\longrightarrow T\longrightarrow S^{1},$

die insgesamt die Identität ist. Vorne steht die Realisierung des Weges, in der Mitte die Kontraktion der anderen Henkel, rechts die Längs- oder die Querprojektion

$T\cong S^{1}\times S^{1}\longrightarrow S^{1}.$

Unter der exakten Garbensequenz (${}C^{\infty }$-Auswertung der reellen Exponentialsequenz, mit ${}t\mapsto e^{2\pi {\mathrm {i} }t}$)

$0\longrightarrow \mathbb {Z} \longrightarrow C^{\infty }(-,\mathbb {R} )\longrightarrow C^{\infty }(-,S^{1})$

ist die oben konstruierte Funktion

$h\colon X\longrightarrow S^{1}$

ein globales Element rechts, das nicht von links herkommt, da die Identität auf ${}S^{1}$ keine Liftung nach ${}\mathbb {R}$ zulässt. Eine solche Abbildung repräsentiert also ein nichttriviales Element in ${}H^{1}(X,\mathbb {Z} )$.

Bemerkung  

Auf der ${}S^{2}$ fixieren wir ein „Dreieck“, etwa eines, das ein Achtel der Oberfläche einnimmt. Es seien ${}K_{1},K_{2},K_{3}$ die Kanten des Dreieckes. Dann ist

${}U_{i}=S^{2}\setminus K_{i}\,$

homöomorph zum ${}\mathbb {R} ^{2}$, der Durchschnitt

${}U_{1}\cap U_{2}=S^{2}\setminus {\left(K_{1}\cup K_{2}\right)}\,$

ist ebenfalls homöomorph zum ${}\mathbb {R} ^{2}$, dagegen zerfällt der Dreierdurchschnitt ${}U_{1}\cap U_{2}\cap U_{3}$ in zwei Teile, nämlich das offene innere Dreieck und die offene Restfläche, die beide homöomorph zum ${}\mathbb {R} ^{2}$ sind. Für die Garbe der lokal konstanten Funktionen mit Werten in ${}{\mathbb {K} }$ ist der Čech-Komplex gleich

$\oplus _{i}\Gamma (U_{i},{\mathbb {K} })\cong {\mathbb {K} }^{3}\longrightarrow \oplus _{i<j}\Gamma (U_{i}\cap U_{j},{\mathbb {K} })\cong {\mathbb {K} }^{3}\longrightarrow \Gamma (U_{1}\cap U_{2}\cap U_{3},{\mathbb {K} })\cong {\mathbb {K} }^{2}\longrightarrow 0.$

Nach (einer Verallgemeinerung von) Fakt kann man die Kohomologie mit dieser Überdeckung ausrechnen. Die vordere Abbildung ist ${}(a,b,c)\mapsto (a-b,b-c,a-c)$. Die hintere Abbildung ist ${}(r,s,t)\mapsto (r+s-t)$, insbesondere stimmen im Bild die Werte auf den beiden Komponenten überein. Deshalb ist

${}H^{1}(S^{2},{\mathbb {K} })=0\,$

und

${}H^{2}(S^{2},{\mathbb {K} })={\mathbb {K} }\,.$

Wenn man den Logarithmus weiter integriert, so erhält man Funktionskeime in einem Punkt, die durch analytische Fortsetzung auseinander hervorgehen, deren Differenz Monome von beliebigen Grad sind. Gibt es eine Charakterisierung der Potenzreihen, die auseinander durch analytische Fortsetzung irgendwo hervorgehen? Setze eine Kreisscheibe in eine riemannsche Fläche ein, betrachte die universelle Überlagerung. Was durch die Decktransformationsgruppe ineinander überführbar ist, liefert analytisch fortsetzbare Keime.