Gitter/Komplexe Zahlen/Streckungsäquivalent/Einführung/Textabschnitt

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Zu je zwei Gittern sind die Quotienten und als topologische Gruppe isomorph, es handelt sich ja um den topologischen Torus . Auch als reelle Lie-Gruppe sind sie stets diffeomorph. Als komplexe Mannigfaltigkeit bzw. als komplexe Liegruppe sind aber und in aller Regel verschieden. Dies bedeutet, dass die eine topologische Gruppe unterschiedliche komplexe Strukturen besitzt.


Definition  

Zwei Gitter heißen streckungsäquivalent, wenn es eine komplexe Zahl mit gibt.

Dabei ist natürlich , die Streckungsäquivalenz ist eine Äquivalenzrelation. Wenn das eine Gitter durch die reelle Basis und das andere Gitter durch gegeben ist, so kann man durch Multiplikation mit

ein zu streckungsäquivalentes Gitter

finden, das mit im ersten Erzeuger übereinstimmt. Damit sind die Streckungsmöglichkeiten aufgebraucht. Allerdings kann man aus

nicht schließen, dass und nicht zueinander streckungsäquivalent sind, da es ja um die Gleichheit von Gittern und nicht um die Gleichheit von Gitterbasen geht, d.h. man kann noch mit einer Matrix aus multiplizieren.


Definition  

Unter der oberen Halbebene in versteht man



Lemma  

Jedes Gitter

ist streckungsäquivalent zu einem Gitter der Form mit .

Beweis  

Sei . Da eine reelle Basis sind, ist insbesondere . Mit erhält man das streckungsäquivalente Gitter

Sei . Dies Zahl ist nicht reell, da andernfalls eine reelle lineare Abhängigkeit zwischen und vorliegen würde. Also besitzt einen imaginären Anteil. Wenn dieser in der unteren Halbebene liegt, so ersetzen wir durch und erhalten eine Basis mit den verlangten Eigenschaften.


Es bleibt noch zu fragen, wann zwei Gitter, die beide durch eine Basis der Form bzw. mit gegeben sind, übereinstimmen.



Lemma  

Zwei Gitter der Form und mit

sind genau dann streckungsäquivalent, wenn es mit

gibt.

Beweis  

Die Streckungsbedingung zusammen mit der Basisbeschreibung aus Fakt führt auf die Bedingung

mit und . Daher muss

sein und die Bedingung wird zu

Es ist

Der Nenner ist reell, der Zähler ist

Hierbei sind die drei Summanden links reell. Somit gehört genau dann zu , wenn die Matrix die Determinante besitzt.



Definition  

Die Gruppenoperation der Gruppe auf der oberen Halbebene durch

heißt Modulsubstitution.

Dass das Ergebnis einer solchen Substitution (man spricht auch von einer speziellen Möbiustransformation) wieder in der oberen Halbebene liegt wurde in Fakt mitbewiesen. Die spezielle lineare Gruppe nennt man in diesem Zusammenhang auch Modulgruppe. Da die negative Einheitsmatrix trivial operiert, betrachtet man oft die Restklassengruppe als die Modulgruppe.

Bemerkung  

Die Wirkungsweise der beiden Matrizen und , die nach Fakt die Gruppe der speziellen ganzzahligen Matrizen erzeugen, bei der Modulsubstitution ist

und


Der Fundamentalbereich der Gruppenoperation durch Modulsubstitution ist grau. Im Bild ist nicht erkennbar, inwiefern die Randpunkte dazu gehören oder nicht.






Satz  

Es seien Gitter.

Dann sind und genau dann zueinander streckungsäquivalent, wenn und als komplexe Lie-Gruppen isomorph sind.

Beweis  

Es seien und streckungsäquivalent mit

mit . Wie betrachten die Multiplikation mit als lineare Abbildung

Dieser Gruppenisomorphismus führt in über. Somit ist der Kern des surjektiven Gruppenhomomorphismus

Nach Fakt induziert dies einen Gruppenisomorphismus

Dieser ist stetig und auch (wegen der Kompaktheit oder wegen der Symmetrie der Situation) ein Homöomorphismus. Für einen Punkt und eine hinreichend kleine Ballumgebung , die nur einfach trifft, ist

eine komplexe Karte für . Dann kommutiert das Diagramm

und ist eine komplexe Karte für . Somit ist mit den komplexen Strukturen verträglich.