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Gitter/Komplexe Zahlen/Isogenien/Einführung/Textabschnitt

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Es seien zwei Gitter gegeben, das eine Gitter sei also in dem anderen Gitter enthalten, d.h. ist ein Untergitter von . Beispielsweise ist ein Untergitter des Standardgitters . Wenn man ein Gitter mit einer positiven natürlichen Zahl streckt, so erhält man die Untergitterbeziehung . Hierbei sind und zueinander streckungsäquivalent, es kann also durchaus sein, dass ein streckungsäquivalentes Gitter als Untergitter von sich selbst auftritt.



Es sei ein Untergitter eines Gitters in .

Dann gibt es derart, dass gilt.

Es sei und . Dann gibt es mit und . Da die Gitter nach Definition volldimensional sind, ist

Somit gibt es eine weitere Matrix mit

Mit diesem gilt die Behauptung.



Zu Gittern

gibt es einen kanonischen surjektiven Gruppenhomomorphismus

dessen Kern gleich und insbesondere endlich ist.

Unter dem Gruppenhomomorphismus

wird insbesondere auch das Untergitter auf abgebildet, d.h. gehört zum Kern von . Somit gibt es nach dem Homomorphiesatz einen induzierten Gruppenhomomorphismus

Dieser ist surjektiv, und sein Kern ist isomorph zu . Dies ist eine endliche Gruppe.



Zu Gittern

ist der kanonische Gruppenhomomorphismus

eine endliche Überlagerung, deren Fasern gleich sind. Die Gruppe der Decktransformationen ist isomorph zu .

Es liegt das kommutative Diagramm

wobei und nach Fakt Überlagerungen sind. Zu einer offenen Umgebung , für die es in die disjunkten und zu homöomorphen offenen Umgebungen , , gibt, ist das Urbild in die disjunkte Vereinigung der offenen Mengen , , wobei

Homöomorphismen sind. Daher liegt eine Überlagerung vor.

Ein Element definiert einen stetigen Gruppenhomomorphismus

derart, dass das Diagramm

kommutiert. Dabei definiert genau dann die Identität auf , wenn ist, also wenn in ist. Die Addition in entspricht dabei der Hintereinanderschaltung von Abbildungen.



Zu Gittern

ist der kanonische Gruppenhomomorphismus

ein Homomorphismus von komplexen Lie-Gruppen.

Dies folgt aus Fakt und aus Fakt, da die holomorphen Strukturen auf bzw. beide von geerbt sind (siehe Fakt).



Zu komplexen Tori und nennt man einen holomorphen Gruppenhomomorphismus eine Isogenie

Nach Fakt ist also zu einem Untergitter die induzierte Abbildung eine Isogenie.



Es sei ein Gitter und .

Dann führt die Multiplikation mit zu einem kommutativen Diagramm

von Gruppenhomomorphismen. Die Abbildung ist eine surjektive Isogenie und der Kern von wird durch die Elemente

repräsentiert.

Es liegt die Untergitterbeziehung vor, daher folgen die Aussagen aus Fakt.


Der folgende Satz charakterisiert die nichtkonstanten Isogenien.


Es seien Gitter. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.

  1. Es gibt ein mit .
  2. Es gibt einen surjektiven Homomorphismus von komplexen Lie-Gruppen
  3. Es gibt einen Homomorphismus von komplexen Lie-Gruppen

    mit einem endlichen Kern.

  4. Es gibt einen nichtkonstanten Homomorphismus von komplexen Lie-Gruppen

Von (1) nach (2), (3). Nach Fakt können wir durch ersetzen, da dies den Quotienten mit seiner holomorphen Struktur nicht ändert. Die Aussage (2) und (3) folgen somit aus Fakt und Fakt. Aus (2) bzw. (3) folgt direkt (4). Es sei also (4) erfüllt. Wir betrachten den zusammengesetzten holomorphen Gruppenhomomorphismus

Der Kern dieser Abbildung umfasst . Nach Fakt besitzt diese Gesamtabbildung eine Faktorisierung

mit einer komplexen Zahl . Somit gilt und wegen der Nichtkonstanz ist .



Es seien Gitter.

Dann sind und genau dann zueinander streckungsäquivalent, wenn und als komplexe Lie-Gruppen isomorph sind.

Die Hinrichtung wurde in Fakt gezeigt. Die Rückrichtung folgt aus Fakt.



Es seien und komplexe Tori über und

eine nichtkonstante Isogenie.

Dann gibt es eine Isogenie

derart, dass die -Multiplikation auf ist.

Dies folgt aus Fakt und Fakt.



Es seien und komplexe Tori.

Dann entsprechen die Isogenien den komplexen Zahlen mit .

Dies folgt aus Fakt.



Es seien komplexe Tori. Dann gelten folgende Aussagen

  1. Wenn und

    Isogenien sind, so ist auch eine Isogenie.

  2. Wenn

    Isogenien sind, so ist auch ihre Summe eine Isogenie.

  1. Ist klar.
  2. Folgt direkt aus dem Diagramm



Komplexe Tori über heißen isogen, wenn es eine nichtkonstante Isogenie gibt.