Bilinearform/Gramsche Matrix/Definitheit/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum. Eine Abbildung

$V\times V\longrightarrow K,\,(v,w)\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

heißt Bilinearform, wenn für alle  ${}v\in V$  die induzierten Abbildungen

$V\longrightarrow K,\,w\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

und für alle  ${}w\in V$  die induzierten Abbildungen

$V\longrightarrow K,\,v\longmapsto \left\langle v,w\right\rangle ,$

${}K$-linear sind.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum und ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf ${}V$. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$. Dann heißt die ${}n\times n$-Matrix

$\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle _{1\leq i,j\leq n}$

die Gramsche Matrix von ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basis.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum und ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf ${}V$. Es seien ${}{\mathfrak {v}}=v_{1},\ldots ,v_{n}$ und ${}{\mathfrak {w}}=w_{1},\ldots ,w_{n}$ zwei Basen von ${}V$ und es seien ${}G$ bzw. ${}H$ die Gramschen Matrizen von ${}\left\langle -,-\right\rangle$ bezüglich dieser Basen. Zwischen den Basiselementen gelten die Beziehungen

${}w_{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{ij}v_{i}\,,$

die wir durch die Übergangsmatrix  ${}A={\left(a_{ij}\right)}_{i,j}$  ausdrücken.

Dann besteht zwischen den Gramschen Matrizen die Beziehung

${}H={A^{\text{tr}}}GA\,.$

Beweis

Es ist

${}{\begin{aligned}\left\langle w_{r},w_{s}\right\rangle &=\left\langle \sum _{i=1}^{n}a_{ir}v_{i},\sum _{k=1}^{n}a_{ks}v_{k}\right\rangle \\&=\sum _{1\leq i,k\leq n}a_{ir}a_{ks}\left\langle v_{i},v_{k}\right\rangle \\&=\sum _{1\leq i\leq n}a_{ir}{\left(\sum _{1\leq k\leq n}a_{ks}\left\langle v_{i},v_{k}\right\rangle \right)}\\&=\sum _{1\leq i\leq n}a_{ir}{\left(G\circ A\right)}_{is}\\&={\left({A^{\text{tr}}}\circ {\left(G\circ A\right)}\right)}_{rs}.\end{aligned}}$

$\Box$

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum und ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf ${}V$. Die Bilinearform heißt symmetrisch, wenn

${}\left\langle v,w\right\rangle =\left\langle w,v\right\rangle \,$

für alle  ${}v,w\in V$  gilt.

Definition

Es sei ${}V$ ein reeller Vektorraum mit einer symmetrischen Bilinearform ${}\left\langle -,-\right\rangle$. Diese Bilinearform heißt

1. positiv definit, wenn  ${}\left\langle v,v\right\rangle >0$  für alle ${}v\in V$, ${}v\neq 0$ ist.
2. negativ definit, wenn  ${}\left\langle v,v\right\rangle <0$  für alle ${}v\in V$, ${}v\neq 0$ ist.
3. positiv semidefinit, wenn  ${}\left\langle v,v\right\rangle \geq 0$  für alle  ${}v\in V$  ist.
4. negativ semidefinit, wenn  ${}\left\langle v,v\right\rangle \leq 0$  für alle  ${}v\in V$  ist.
5. indefinit, wenn ${}\left\langle -,-\right\rangle$ weder positiv semidefinit noch negativ semidefinit ist.

Positiv definite symmetrische Bilinearformen nennt man auch Skalarprodukte. Eine Bilinearform auf ${}V$ kann man auf einen Untervektorraum ${}U\subseteq V$ einschränken, wodurch sich eine Bilinearform auf ${}U$ ergibt. Wenn die ursprüngliche Form positiv definit ist, so überträgt sich dies auf die Einschränkung. Allerdings kann eine indefinite Form eingeschränkt auf gewisse Unterräume positiv definit und auf andere negativ definit werden.