Bilinearform/Symmetrisch/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum und ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine Bilinearform auf ${}V$. Die Bilinearform heißt symmetrisch, wenn

${}\left\langle v,w\right\rangle =\left\langle w,v\right\rangle \,$

für alle ${}v,w\in V$ gilt.

Wie im Fall eines Skalarproduktes gilt wieder eine Polarisationsformel.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper mit einer von ${}2$ verschiedenen Charakteristik und sei ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf einem ${}K$-Vektorraum ${}V$.

Dann gilt die Beziehung

${}\left\langle v,w\right\rangle ={\frac {1}{2}}{\left(\left\langle v+w,v+w\right\rangle -\left\langle v,v\right\rangle -\left\langle w,w\right\rangle \right)}\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Definition

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum und ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine nicht ausgeartete symmetrische Bilinearform auf ${}V$. Dann nennt man zu einer Linearform

$L\colon V\longrightarrow K$

den eindeutig bestimmten Vektor ${}z\in V$ mit

${}L(v)=\left\langle z,v\right\rangle =\left\langle v,z\right\rangle \,$

den Gradienten zu ${}L$ bezüglich der Bilinearform.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum und ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf ${}V$. Zwei Vektoren ${}v,w\in V$ heißen orthogonal, wenn

${}\left\langle v,w\right\rangle =0\,$

ist.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum und ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf ${}V$. Eine Basis ${}v_{i},\,i\in I$, von ${}V$ heißt Orthogonalbasis, wenn

${}\left\langle v_{i},v_{j}\right\rangle =0\,$

für alle

${}i\neq j\,$

ist.

Für eine symmetrische Bilinearform ist es durchaus möglich, dass, anders als bei Skalarprodukten, ein von ${}0$ verschiedener Vektor zu sich selbst orthogonal ist. Es kann auch, im ausgearteten Fall, von ${}0$ verschiedene Vektoren geben, die orthogonal zu allen Vektoren sind. Wie im Fall eines Skalarproduktes gibt es Orthogonalbasen.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$-Vektorraum und ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf ${}V$. Der Untervektorraum

${\left\{v\in V\mid \left\langle v,u\right\rangle =0{\text{ für alle }}u\in V\right\}}$

heißt Ausartungsraum zur Bilinearform.

Der Ausartungsraum ist in der Tat ein Untervektorraum von ${}V$, siehe Aufgabe.

Satz

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein endlichdimensionaler ${}K$-Vektorraum und ${}\left\langle -,-\right\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf ${}V$.

Dann besitzt ${}V$ eine Orthogonalbasis.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$