Differentialgeometrie/Gemischte Definitionsabfrage/8/Aufgabe/Lösung

1. Es sei eine Orientierung auf ${}Y$ fixiert. Dann heißt die Abbildung

   $Y\longrightarrow S^{n-1},$

   die jeden Punkt ${}P\in Y$ auf seinen durch die Orientierung fixierten Einheitsnormalenvektor abbildet, die Gauß-Abbildung zu ${}Y$.

2. Eine topologische Karte ist jede Homöomorphie

   $\varphi \colon U\longrightarrow V,$

   wobei ${}U\subseteq M$ und ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen sind.

3. Ein topologischer Hausdorff-Raum ${}M$ zusammen mit einer offenen Überdeckung ${}M=\bigcup _{i\in I}U_{i}$ und Karten

   $\alpha _{i}\colon U_{i}\longrightarrow V_{i}$

   mit ${}V_{i}\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen derart, dass die Übergangsabbildungen

   $\alpha _{j}\circ (\alpha _{i})^{-1}\colon V_{i}\cap \alpha _{i}(U_{i}\cap U_{j})\longrightarrow V_{j}\cap \alpha _{j}(U_{i}\cap U_{j})$

   ${}C^{1}$-Diffeomorphismen für alle ${}i,j\in I$ sind, heißt differenzierbare Mannigfaltigkeit.

4. Man nennt den ${}K$-Vektorraum ${}\bigwedge ^{n}V$ das ${}n$-te Dachprodukt von ${}V$.
5. Eine differenzierbare Abbildung ${}\varphi \colon L\rightarrow M$ heißt lokale Isometrie, wenn für jeden Punkt ${}P\in L$ die Tangentialabbildung

   $T_{P}\varphi \colon T_{P}L\longrightarrow T_{\varphi (P)}M$

   eine Isometrie bezüglich der gegebenen Skalarprodukte ist.

6. Der Zusammenhang heißt lokal integrabel, wenn es zu jedem Punkt ${}e\in E$ einen auf einer offenen Umgebung ${}p(e)\in U\subseteq X$ definierten horizontalen Schnitt

   $s\colon U\longrightarrow E{|}_{U}$

   durch ${}e$ gibt.

Zur gelösten Aufgabe