Differentialgeometrie/Gemischte Satzabfrage/10/Aufgabe/Lösung

1. Es sei ${}N$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension ${}n$ und es sei ${}M\subseteq N$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit der Dimension ${}m$. Dann ist für jeden Punkt ${}P\in M$ die Tangentialabbildung

   $T_{P}M\longrightarrow T_{P}N$

   injektiv.

   D.h. der Tangentialraum ${}T_{P}M$ ist ein Untervektorraum

   der Dimension ${}m$ von ${}T_{P}N$.
2. Es seien ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ und ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ offene Teilmengen, deren Koordinaten mit ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ bzw. mit ${}y_{1},\ldots ,y_{m}$ bezeichnet seien. Es sei

   $\varphi \colon U\longrightarrow V$

   eine differenzierbare Abbildung und es sei ${}\omega$ eine ${}k$-Differentialform auf ${}V$ mit der Darstellung

   ${}\omega =\sum _{I,\,{\#\left(I\right)}=k}f_{I}dy_{I}\,,$

   wobei ${}f_{I}\colon V\rightarrow \mathbb {R}$ Funktionen sind.

   Dann besitzt die zurückgezogene Form die Darstellung

   ${}{\begin{aligned}\varphi ^{*}\omega &=\sum _{I,\,{\#\left(I\right)}=k}{\left(f_{I}\circ \varphi \right)}\left(\sum _{J,\,{\#\left(J\right)}=k}\det {\left({\left({\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}\right)}_{i\in I,j\in J}\right)}dx_{J}\right)\\&=\sum _{J,\,{\#\left(J\right)}=k}\left(\sum _{I,\,{\#\left(I\right)}=k}{\left(f_{I}\circ \varphi \right)}\det {\left({\left({\frac {\partial \varphi _{i}}{\partial x_{j}}}\right)}_{i\in I,j\in J}\right)}\right)dx_{J}.\end{aligned}}$

3. Eine zweifach differenzierbare Kurve ${}\gamma \colon I\rightarrow M$ auf einer riemannschen Mannigfaltigkeit ${}M$ ist genau dann eine geodätische Kurve (bezüglich des Levi-Civita-Zusammenhangs), wenn sie auf jeder Karte das gewöhnliche Differentialgleichungssystem zweiter Ordnung

   ${}\gamma _{k}^{\prime \prime }+\sum _{ij}\Gamma _{ij}^{k}\gamma _{i}'\gamma _{j}'=0\,$

   (für alle ${}k$)

   erfüllt.

Zur gelösten Aufgabe