Differenzierbare Abbildung/Vektorräume/Regulärer Punkt/Textabschnitt
Der Rang einer linearen Abbildung
ist definiert als die Dimension des Bildraumes . Mit diesem Begriff können wir die Regularität einer Abbildung in einem Punkt allgemein definieren.
Definition
Es seien und endlichdimensionale reelle Vektorräume, sei offen, sei und sei
eine in differenzierbare Abbildung. Dann heißt ein regulärer Punkt von , wenn
ist. Andernfalls heißt ein kritischer Punkt oder ein singulärer Punkt.
Bemerkung
Eine differenzierbare Abbildung ist genau dann regulär in einem Punkt , wenn das totale Differential den maximal möglichen Rang besitzt. Der Rang ist nach Fakt und nach Fakt gleich dem Spalten- bzw. Zeilenrang einer beschreibenden Matrix. Daher ist der Rang maximal gleich der Anzahl der Zeilen und maximal gleich der Anzahl der Spalten, also maximal gleich dem Minimum der beiden Dimensionen.
Bei ist ein regulärer Punkt genau dann, wenn nicht die Nullabbildung ist. Daher stimmt diese Definition von regulär mit Definition überein. Bei bedeutet die Regularität wiederum, dass ist. Generell bedeutet bei die Regularität, dass injektiv ist, und bei bedeutet die Regularität, dass surjektiv ist. Insbesondere bedeutet bei die Regularität in , dass das totale Differential bijektiv ist und dass daher die Voraussetzung im Satz über die lokale Umkehrbarkeit erfüllt ist.
Beispiel
Wir betrachten die Abbildung
Diese Abbildung ist differenzierbar und die Jacobi-Matrix in einem Punkt ist
Die Determinante davon ist
so dass die Bedingung
die regulären Punkte der Abbildung charakterisiert. Im Nullpunkt liegt beispielsweise ein regulärer Punkt vor, so dass dort aufgrund des Satzes über die lokale Umkehrbarkeit lokal eine Bijektion vorliegt, d.h. es gibt offene Umgebungen und von derart, dass die eingeschränkte Abbildung
bijektiv ist (mit stetig differenzierbarer Umkehrabbildung).
Wie groß kann dabei gewählt werden? Wir beschränken uns auf offene Ballumgebungen . Bei enthält eine solche Kreisscheibe zwei Punkte der Form
Diese werden unter auf
abgebildet, also auf den gleichen Punkt. Daher ist die Einschränkung der Abbildung auf eine solche Kreisscheibe nicht injektiv, und auf einer solchen Menge kann es keine Umkehrabbildung geben.
Betrachten wir hingegen
und
Da keine kritischen Punkte enthält, ist nach Aufgabe das Bild offen. Die eingeschränkte Abbildung ist nach Definition von surjektiv, so dass nur die Injektivität zu untersuchen ist.
Das Gleichungssystem
führt auf
und auf
Seien und aus mit
gegeben. Dann ist
und somit
Bei folgt direkt . Bei muss
sein. Dies bedeutet und ebenso . Wegen
und müssen und das gleiche Vorzeichen besitzen. Daher müssen auch und das gleiche Vorzeichen besitzen. Daraus folgt aber
so dass es in der offenen Kreisumgebung mit Radius keine zwei verschiedenen Urbilder geben kann.[1] Mit liegt also eine Bijektion vor.
- ↑ Man kann auch folgendermaßen argumentieren: Die
Ableitung
von nach ist
.
Wegen
ist dies positiv. Somit ist
streng wachsend
in nach
Fakt.
Daher gibt es zu einem vorgegebenen Punkt
nur ein , das die Bedingung
erfüllt. Wegen ist auch die zweite Komponente eindeutig bestimmt.