Differenzierbare Mannigfaltigkeit/de Rham-Komplex/Riemannsche Flächen/Textabschnitt

Auf einer ${}C^{\infty }$-differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$ bilden die (reell- oder komplexwertigen) ${}k$-Differentialformen eine Garbe ${}U\mapsto {\mathcal {E}}^{k}(U)$. Die äußere Ableitung definiert einen Garbenhomomorphismus

$d\colon {{\mathcal {E}}^{k}}\longrightarrow {{\mathcal {E}}^{k+1}}.$

Definition

Es sei ${}M$ eine ${}n$-dimensionale ${}C^{\infty }$-reelle Mannigfaltigkeit. Man nennt den durch die äußeren Ableitungen gegebenen Garbenkomplex

$0\longrightarrow {\mathcal {E}}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}{{\mathcal {E}}^{(1)}}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}{{\mathcal {E}}^{(2)}}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\ldots {\stackrel {d}{\longrightarrow }}{{\mathcal {E}}^{(n-1)}}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}{{\mathcal {E}}^{(n)}}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}0$

den de-Rham-Komplex auf ${}M$.

Wichtige Eigenschaften der äußeren Ableitung werden in Fakt formuliert. Ferner ist wegen des Lemmas von Poincaré für Differentialformen der Komplex ab der Stelle ${}i\geq 1$ als Garbenkomplex exakt. Öfters ergänzt man links den Komplex durch die Garbe der lokal konstanten Funktionen mit Werten in ${}\mathbb {R}$ oder in ${}{\mathbb {C} }$, um überall Exaktheit zu erreichen. In der gegebenen Form ist der Komplex aber gerade eine Auflösung dieser lokal konstanten Garbe. Die globale Auswertung ist im Allgemeinen nicht exakt, vielmehr die Grundlage für die Einführung der de-Rham-Kohomologie.

Definition

Es sei ${}M$ eine ${}n$-dimensionale ${}C^{\infty }$-reelle Mannigfaltigkeit. Man definiert über den de-Rham-Komplex die ${}i$-te de-Rham-Kohomologie von ${}M$ durch

${}H_{dR}^{i}(M):=\operatorname {kern} \left({{\mathcal {E}}^{(i)}}{\left(M\right)}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}{{\mathcal {E}}^{(i+1)}}{\left(M\right)}\right)/\operatorname {bild} {\left({{\mathcal {E}}^{(i-1)}}{\left(M\right)}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}{{\mathcal {E}}^{(i)}}{\left(M\right)}\right)}\,.$

Eine ${}i$-te de Rham-Kohomoloieklasse wird also durch eine geschlossene ${}i$-te Differentialform ${}\omega$ repräsentiert, wobei zwei Differentialformen die gleiche Klasse definieren, wenn ihre Differenz eine exakte Differentialform ist.

Für eine riemannsche Fläche ist die komplexwertige Version des de-Rham-Komplexes (mit den lokal konstanten Funktionen) gleich

$0\longrightarrow {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathcal {E}}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}{\mathcal {E}}^{(1)}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}{\mathcal {E}}^{(2)}\longrightarrow 0.$

Die Kerngarbe

${}{\mathcal {Z}}:=\operatorname {kern} \left({\mathcal {E}}^{(1)}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}{\mathcal {E}}^{(2)}\right)\,$

ist die Garbe der geschlossenen differenzierbaren komplexwertigen ${}1$-Formen. Mit ${}{\mathcal {Z}}$ kann man diesen exakten Komplex in zwei kurze exakte Garbensequenzen aufspalten, nämlich

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathbb {C} }\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {E}}\,{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {Z}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

und

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {Z}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{{\mathcal {E}}^{(1)}}\,{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\,{{\mathcal {E}}^{(2)}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0.$

Korollar

Für die Garbe der lokal konstanten ${}{\mathbb {C} }$-wertigen Funktionen auf einer riemannschen Fläche ${}X$ gilt

${}H^{1}(X,{\mathbb {C} })=H_{dR}^{1}(X)\,$

und

${}H^{2}(X,{\mathbb {C} })=H_{dR}^{2}(X)\,.$

Beweis

Wir arbeiten mit der kurzen exakten Garbensequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathbb {C} }\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {E}}\,{\stackrel {d}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {Z}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0,$

die sich aus dem (komplexwertigen) de-Rham-Komplex ergibt, wenn man ${}{\mathcal {Z}}:=\operatorname {kern} \left({\mathcal {E}}^{(1)}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}{\mathcal {E}}^{(2)}\right)$ setzt. Aufgrund der langen exakten Kohomologiesequenz in Verbindung mit Fakt ist

${}H^{1}(X,{\mathbb {C} })=H^{0}(X,{\mathcal {Z}})/\operatorname {bild} {\left(H^{0}(X,{\mathcal {E}}){\stackrel {d}{\longrightarrow }}H^{0}(X,{\mathcal {Z}})\right)}\,.$

Wegen der Linksexaktheit der globalen Auswertung ist

${}H^{0}(X,{\mathcal {Z}})=\operatorname {kern} \left(H^{0}(X,{\mathcal {E}}^{(1)}){\stackrel {d}{\longrightarrow }}H^{0}(X,{\mathcal {E}}^{(2)})\right)\,$

und somit stimmt der obige Ausdruck mit der Definition der ersten de-Rham-Kohomologie überein. Für den zweiten Teil siehe Aufgabe.

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