Fortsetzung von Prämaßen/Textabschnitt

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Definition  

Es sei eine Menge und ein Präring auf . Dann heißt eine Abbildung

ein äußeres Maß auf , wenn folgende Bedingungen erfüllt sind.

  1. Für je zwei Mengen  mit gilt .
  2. Für jede abzählbare Familie von paarweise disjunkten Teilmengen , , aus , für die ebenfalls zu gehört, gilt

Die sogenannte -Subadditivitätseigenschaft, die für ein äußeres Maß für disjunkte Vereinigungen gefordert wird, gilt auch für beliebige abzählbare Vereinigungen, siehe Aufgabe.


Definition  

Es sei eine Menge, ein Präring auf und

ein äußeres Maß auf . Für eine beliebige Teilmenge definiert man

und nennt dies die Fortsetzung des äußeren Maßes .

Bei dieser Definition nimmt man also das Infimum über alle Überpflasterungen.



Lemma  

Es sei eine Menge, ein Präring auf und

ein äußeres Maß auf .

Dann ist die Fortsetzung des äußeren Maßes ein äußeres Maß auf der Potenzmenge , das auf mit übereinstimmt.

Beweis  

Sei . Das Mengensystem ist natürlich eine Überpflasterung von , so dass in der Menge vorkommt, über die das Infimum genommen wird. Für jede Überpflasterung , , von gilt und somit

so dass gilt.
Für beliebige Teilmengen gilt trivialerweise , da eine Überpflasterung von insbesondere eine Überpflasterung von ist.
Sei nun , , eine abzählbare Familie von Teilmengen von . Wir müssen nachweisen. Wenn der rechte Ausdruck gleich ist, so ist nichts zu zeigen. Wir können also voraussetzen, dass die rechte Familie summierbar ist. Die Summanden dieser Familie sind jeweils das Infimum über Summen, die jeweils zu Überpflasterungen gehören.  Nehmen wir an, dass die linke Seite größer als die rechte Seite sei, wobei die Differenz größer als sei. Sei , , so gewählt, dass ist; eine solche Familie gibt es aufgrund der Abzählbarkeit von , siehe Aufgabe. Zu jedem gibt es eine Überpflasterung mit einer abzählbaren Indexmenge , mit und mit

Die Menge ist als abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen wieder abzählbar. Wir betrachten nun die durch , , (mit ) gegebene Überpflasterung von . Damit gelten unter Verwendung des großen Umordnungssatzes die Abschätzungen

  

ein Widerspruch.


Es ist keineswegs so, dass die Fortsetzung eines Prämaßes auf der Potenzmenge ein Maß liefert. Dies gilt allerdings auf der erzeugten -Algebra, was wir im Folgenden nach einigen Vorbereitungen beweisen werden. Zunächst führen wir den folgenden technischen Hilfsbegriff ein.


Definition  

Es sei eine Menge, ein Präring auf ,

ein äußeres Maß auf und die Fortsetzung von auf die Potenzmenge . Man sagt, dass eine Teilmenge die Zerlegungseigenschaft besitzt, wenn für alle die Gleichheit gilt.

Eine Teilmenge besitzt also die Zerlegungseigenschaft, wenn man für jede Menge die Berechnung ihres äußeren Maßes auf die durch gegebene Zerlegung von zurückführen kann. Die schwächere Eigenschaft gilt für jede Teilmenge , siehe Aufgabe.



Lemma  

Es sei eine Menge, ein Präring auf ,

ein äußeres Maß auf und die Fortsetzung von auf die Potenzmenge . Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Das Mengensystem aller Teilmengen , die die Zerlegungseigenschaft besitzen, bilden eine -Algebra.
  2. Die Einschränkung von auf diese -Algebra ist ein Maß.

Beweis  

(1). Sei

Offensichtlich gehört zu und dieses System ist abgeschlossen unter Komplementbildung.   Bevor wir zeigen können, dass unter abzählbaren Vereinigungen abgeschlossen ist, zeigen wir, dass dies für endliche Vereinigungen gilt. Seien also und aus und sei eine beliebige Teilmenge. Dann ist

  

Damit ist auch unter endlichen Durchschnitten abgeschlossen und somit liegt insgesamt eine Mengen-Algebra vor.
Sei nun , , eine abzählbare Familie aus . Wir wissen, dass die Teilmengen zu gehören. Deren Vereinigung ist gleich der Vereinigung der , so dass wir annehmen können, dass die paarweise disjunkt sind. Wegen der Disjunktheit ergibt sich induktiv für eine beliebige Teilmenge

Daraus ergibt sich unter Verwendung der Zerlegungseigenschaft von und der Monotonie des äußeren Maßes die Abschätzung

Da dies für alle gilt, und da ein äußeres Maß vorliegt, folgt

Da die umgekehrte Abschätzung sowieso gilt, haben wir die gewünschte Gleichheit.
(2). Für paarweise disjunkte Mengen , , aus ist, wie unter (1) bewiesen,

Da dies für alle gilt, folgt

Da auch die umgekehrte Abschätzung gilt, liegt Gleichheit vor.




Lemma  

Es sei eine Menge, ein Präring auf ,

ein Prämaß auf und die Fortsetzung von auf die Potenzmenge .

Dann besitzen alle Mengen aus die Zerlegungseigenschaft.

Beweis  

Es sei und . Es sei , , eine abzählbare Überpflasterung von mit Mengen aus . Die Durchschnitte , , bzw. , , sind Überpflasterungen von bzw. von . Für jedes gilt , da ein Prämaß vorliegt. Daher ist

Da dies für alle Überpflasterungen gilt, folgt

Da auch die umgekehrte Abschätzung gilt, liegt Gleichheit vor.