Glatte projektive Kurve/C/Riemannsche Fläche/Geschlecht/Übereinstimmung/Textabschnitt

Eine glatte projektive Kurve über ${}{\mathbb {C} }$ kann man als eine kompakte riemannsche Fläche und eine kompakte riemannsche Fläche algebraisch realisieren. Wir wollen zeigen, dass bei dieser Korrespondenz die Geschlechter übereinstimmen. In der kohomologischen Definition des Geschlechtes wird auf beiden Seiten die Dimension der ersten Kohomologie der Strukturgarbe genommen. In der analytischen Situation bezieht sich Strukturgarbe aber auf die holomorphen Funktionen mit der feinen metrischen Topologie, in der algebraischen Situation aber auf die rationalen Funktionen in der Zariski-Topologie. Aufgrund der Serre-Dualität, die es auf beiden Seiten gibt, stimmt jeweils das kohomologische Geschlecht mit dem differentiellen Geschlecht überein. Dies ist analog definiert, bezieht sich aber in der analytischen Situation auf die Dimension der globalen holomorphen Differentialformen, in der algebraischen Situation auf die Dimension der globalen Kähler-Differentialformen.

In der differentiellen Situation ist recht einfach zu sehen, dass globale Kähler-Differentialformen auch globale holomorphe Differentialformen sind und dass dabei die lineare Unabhängigkeit erhalten bleibt. Es ist also

${}g_{{\text{alg}}{\text{ dif}}}(X_{\text{alg}})\leq g_{{\text{an}}{\text{ dif}}}(X_{\text{an}})\,.$

In der kohomologischen Welt liefert ein Čech-Kozykel zur algebraischen Strukturgarbe auf einer Zariski-offenen Überdeckung auch einen Čech-Kozykel für die holomorphen Funktionen auf der riemannschen Fläche. Es ist aber keineswegs klar, dass ein solcher nichttrivialer Kozykel nichttrivial bleibt, da ja viel mehr holomorphe Funktionen zur Verfügung stehen, noch, dass alle holomorphen Kozykel zu dieser Überdeckung algebraisch repräsentiert werden können, noch, dass man mit diesen Zariski-Überdeckungen alles erfassen kann.

Satz

Es sei ${}X_{\text{alg}}$ eine zusammenhängende glatte projektive Kurve über ${}{\mathbb {C} }$ und sei ${}X_{\text{an}}$ die zugehörige kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.

Dann stimmt das algebraisch definierte Geschlecht von ${}X_{\text{alg}}$ mit dem analytisch definierten Geschlecht von ${}X_{\text{an}}$ überein.

Beweis

Nach Fakt kann man die erste Kohomologie der holomorphen Strukturgarbe durch

$H^{1}(X_{\text{an}},{\mathcal {O}}_{X_{\text{an}}})\cong \Gamma {\left(X_{\text{an}},{\mathcal {T}}_{\text{an}}\right)}/\operatorname {bild} {\left(\Gamma {\left(X_{\text{an}},{\mathcal {M}}\right)}\rightarrow \Gamma {\left(X_{\text{an}},{{\mathcal {T}}_{\text{an}}}\right)}\right)}\,$

berechnen. In der algebraischen Situation gibt es die kurze exakte Garbensequenz

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X_{\text{alg}}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,K\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,K/{\mathcal {O}}_{X_{\text{alg}}}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0,$

wobei ${}K$ die konstante Garbe auf der Zariski-Topologie mit dem Funktionenkörper ${}K$ bezeichnet. Diese Garbe ist insbesondere welk und ihre erste Kohomologie verschwindet daher. Die Quotientengarbe ${}K/{\mathcal {O}}_{X_{\text{alg}}}$ kann man punktweise berechnen, die Halme in einem Punkt ${}P$ sind ${}K/{\mathcal {O}}_{X_{\text{alg}},P}$. Da ${}{\mathcal {O}}_{X_{\text{alg}},P}$ ein diskreter Bewertungsring mit einer Ortsuniformisierenden ${}\pi$ und ${}K$ sein Quotientenkörper mit ${}K=R_{\pi }$ ist, gilt

${}K/R\cong \bigoplus _{i\in \mathbb {Z} _{-}}{\mathbb {C} }\pi ^{-i}\,$

nach Aufgabe. Es liegt also die gleiche Hauptteilstruktur wie im analytischen Fall vor. Somit stimmt die Garbe der analytischen Hauptteilverteilungen mit der Garbe der algebraischen Hauptteilverteilungen (wo sie definiert ist) überein. Nach Fakt ist

${}\Gamma {\left(X_{\text{an}},{\mathcal {M}}\right)}=K\,,$

also hat man für ${}H^{1}(X_{\text{an}},{\mathcal {O}}_{X_{\text{an}}})$ und ${}H^{1}(X_{\text{alg}},{\mathcal {O}}_{X_{\text{alg}}})$ identische Beschreibungen.

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