Graduierter Ring/Projektives Spektrum/Einführung/Textabschnitt

Das projektive Spektrum wird üblicherweise für ${}\mathbb {N}$-graduierte Ringe eingeführt. Da man aber in der Konstruktion Nenneraufnahmen an homogenen Elementen betrachtet, wobei auch negative Grade auftreten, ist es sinnvoller, von Anfang an mit ${}\mathbb {Z}$-Graduierungen zu arbeiten.

Definition

Zu einem ${}\mathbb {Z}$-graduierten Ring nennt man das von allen homogenen Elementen von einem Grad ${}\neq 0$ erzeugte Ideal das irrelevante Ideal. Es wird mit ${}R_{+}$ bezeichnet.

Im positiv-graduierten Fall ist dies einfach das Ideal ${}\bigoplus _{n\geq 1}R_{n}$. Bei negativen Graden kann es auch das Einheitsideal sein.

Definition

Es sei ${}R$ ein ${}\mathbb {Z}$-graduierter kommutativer Ring. Dann nennt man die Menge der homogenen Primideale von ${}R$, die nicht ${}R_{+}$ umfassen, das projektive Spektrum von ${}R$. Es wird mit ${}\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ bezeichnet.

Definition

Es sei ${}R$ ein ${}\mathbb {Z}$-graduierter kommutativer Ring. Dann nennt man die Menge der homogenen Primideale von ${}R$, die nicht ${}R_{+}$ umfassen, zusammen mit der Topologie, bei der die Teilmengen

${}D_{+}{\left({\mathfrak {a}}\right)}={\left\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Proj} {\left(R\right)}\mid {\mathfrak {a}}\not \subseteq {\mathfrak {p}}\right\}}\,$

als offen erklärt werden, das projektive Spektrum von ${}R$.

Es handelt sich in der Tat um eine Topologie. Es ist

${}D_{+}({\mathfrak {a}})=\bigcup _{f\in {\mathfrak {a}}{\text{ homogen}}}D_{+}(f)\,$

mit

${}D_{+}(f)={\left\{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Proj} {\left(R\right)}\mid f\notin {\mathfrak {p}}\right\}}\,.$

Diese ${}D_{+}(f)$ bilden eine Basis der Topologie.

Definition

Das projektive Spektrum des Polynomrings ${}R[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ nennt man den projektiven Raum der Dimension ${}n$ über ${}R$.

Zu einem ${}\mathbb {Z}$-graduierten Ring ${}S$ bezeichnet man den Ring der nullten Stufe mit ${}S_{0}$. Wenn ${}R$ ${}\mathbb {N}$-graduiert ist, so ist ${}R_{0}$ häufig ein einfacher Ring, beispielsweise ein Körper, aber wenn ${}f\in R$ ein homogenes Element mit einem positiven Grad ist, so ist die Nenneraufnahme ${}R_{f}$ in natürlicher Weise ${}\mathbb {Z}$-graduiert und ${}{\left(R_{f}\right)}_{0}$ kann beliebig kompliziert sein.

Zu einem homogenen Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ ist ${}R\setminus {\mathfrak {p}}$ ein multiplikatives System und entsprechend ist der Durchschnitt von ${}R\setminus {\mathfrak {p}}$ mit der Menge aller homogenen Elemente ein multiplikatives System. Der Ring der nullten Stufe zu dieser Nenneraufnahme spielt eine besondere Rolle, er wird mit

${}R_{({\mathfrak {p}})}=(R_{(R\setminus {\mathfrak {p}})\cap \{{\text{homogene Elemente}}\}})_{0}\,$

bezeichnet.

Lemma

Zu einem homogenen Primideal ${}{\mathfrak {p}}$ in einem ${}\mathbb {N}$-graduierten Ring ${}R$

ist ${}R_{({\mathfrak {p}})}$ ein lokaler Ring.

Beweis

Seien ${}r,s\in R_{({\mathfrak {p}})}$ Nichteinheiten. Dann ist ${}r={\frac {a}{f}}$ und ${}s={\frac {b}{g}}$ mit homogenen Elementen ${}f,g\notin {\mathfrak {p}}$ und homogenen Elementen ${}a,b\in R$, die jeweils den gleichen Grad wie ihre Nenner haben. Dabei ist ${}a,b\in {\mathfrak {p}}$, da andernfalls eine Einheit vorliegen würde. Daher ist ${}ag+bf\in {\mathfrak {p}}$ und somit ist

${}{\frac {a}{f}}+{\frac {b}{g}}={\frac {ag+bf}{fg}}\,$

ebenfalls eine Nichteinheit in ${}R_{({\mathfrak {p}})}$.

$\Box$

Definition

Es sei ${}R$ ein ${}\mathbb {Z}$-graduierter Ring und ${}Y=\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ das mit der Zariski-Topologie versehene projektive Spektrum von ${}R$. Unter der Strukturgarbe auf ${}Y$ versteht man die Zuordnung, die jeder offenen Menge ${}U\subseteq Y$ den kommutativen Ring

$\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{Y})={\left\{{\left(s_{\mathfrak {p}}\right)}_{{\mathfrak {p}}\in U}\in \prod _{{\mathfrak {p}}\in U}R_{({\mathfrak {p}})}\mid {\text{ für alle }}{\mathfrak {p}}\in U{\text{ gibt es homogene Elemente }}a,b\in R{\text{ mit }}{\mathfrak {p}}\in D_{+}(b)\subseteq U{\text{ und }}s_{\mathfrak {q}}={\frac {a}{b}}{\text{ in }}R_{({\mathfrak {q}})}{\text{ für alle }}{\mathfrak {q}}\in D_{+}(b)\right\}}\,$

und jeder Inklusion ${}U\subseteq V$ die natürliche Projektion zuordnet.

Diese Definition beinhaltet insbesondere, dass in jeder Darstellung die Differenz ${}\operatorname {Grad} \,(a)-\operatorname {Grad} \,(b)$ gleich ${}0$ ist. Man kann dies als Vergarbung der durch

$D_{+}({\mathfrak {a}})\mapsto \operatorname {colim} _{D_{+}({\mathfrak {a}})\subseteq D_{+}(f)}\,(R_{f})_{0}$

definierten Prägarbe auffassen, wodurch klar wird, dass eine Garbe aus kommutativen Ringen vorliegt.

Definition

Es sei ${}R$ ein ${}\mathbb {Z}$-graduierter Ring. Unter dem projektiven Spektrum ${}Y=\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ versteht man das mit der Zariski-Topologie und der Strukturgarbe versehene projektive Spektrum von ${}R$.

Lemma

Es sei ${}R$ ein ${}\mathbb {Z}$-graduierter Ring, der zumindest eine homogene Einheit positiven Grades besitze.

Dann ist die Abbildung

$\operatorname {Proj} {\left(R\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R_{0}\right)},\,{\mathfrak {p}}\longmapsto {\mathfrak {p}}\cap R_{0},$

eine Bijektion, die bezüglich der Zariski-Topologien eine Homöomorphie und bezüglich der Strukturgarben ein Isomorphismus ist. Ferner ist dabei

${}R_{({\mathfrak {p}})}={\left(R_{0}\right)}_{{\mathfrak {p}}\cap R_{0}}\,.$

Beweis

Zunächst ist ${}{\mathfrak {p}}_{0}:={\mathfrak {p}}\cap R_{0}$ ein Primideal und die Abbildung ist wohldefiniert. Es sei ${}g$ eine Einheit positiven Grades. Wir behaupten, dass sich ${}{\mathfrak {p}}$ aus ${}{\mathfrak {p}}_{0}$ rekonstruieren lässt, und zwar sind die homogenen Elemente von ${}{\mathfrak {p}}$, die ja das Ideal festlegen, gleich

${}{\mathfrak {p}}\cap H={\left\{h{\text{ homogen}}\mid {\text{ es gibt }}i\in \mathbb {Z} ,j\in \mathbb {N} _{+}{\text{ mit }}g^{i}h^{j}\in {\mathfrak {p}}_{0}\right\}}\,.$

Dabei ist die Inklusion ${}\subseteq$ klar, da man ${}i$ und ${}j$ so wählen kann, dass der Grad von ${}g^{i}h^{j}$ gleich ${}0$ wird. Wenn umgekehrt ${}g^{i}h^{j}\in {\mathfrak {p}}_{0}$ ist, so ist zunächst ${}h^{j}\in {\mathfrak {p}}$ und wegen der Primeigenschaft dann auch ${}h\in {\mathfrak {p}}$. Damit ist die Abbildung injektiv. Zum Nachweis der Surjektivität sei ${}{\mathfrak {q}}$ ein Primideal aus ${}R_{0}$ und wir betrachten das von

${\left\{h{\text{ homogen}}\mid {\text{ es gibt }}i\in \mathbb {Z} ,j\in \mathbb {N} _{+}{\text{ mit }}g^{i}h^{j}\in {\mathfrak {q}}\right\}}$

erzeugte Ideal. Dieses enthält keine Einheit und somit auch nicht ganz ${}R_{+}$, da es nicht ${}g$ enthält, da ${}{\mathfrak {q}}$ nicht die ${}1$ enthält. Wenn ${}h_{1}h_{2}$ zu dieser Menge gehört, so ist ${}g^{i}h_{1}^{j}h_{2}^{j}\in {\mathfrak {q}}$ für gewisse ${}i,j$ und für eine gewisse Potenz davon können wir dies als

${}{\left(g^{i}h_{1}^{j}h_{2}^{j}\right)}^{n}={\left(g^{a}h_{1}^{b}\right)}{\left(g^{c}h_{2}^{d}\right)}\,$

derart schreiben, dass beide Faktoren den Grad ${}0$ haben. Dann muss ein Faktor zu ${}{\mathfrak {q}}$ gehören und somit ${}h_{1}$ oder ${}h_{2}$ zu der angegebenen Menge.

Zum Nachweis der Homöomorphie beachte man, dass die Mengen ${}D_{+}(f)$ bzw. ${}D(f)$ zu homogenen Elementen (vom Grad ${}0$) jeweils eine Basis der Topologie bilden, dass das Urbild von ${}D(f)$ gleich ${}D_{+}(f)$ ist und dass ${}D_{+}(f)=D_{+}(fg^{j})$ ist.

$\Box$

Lemma

Zu einem ${}\mathbb {Z}$-graduierten Ring ${}R$ und einem homogenen Element ${}f\in R$ von einem Grad ${}\neq 0$ ist

${}D_{+}(f)\cong \operatorname {Spek} {\left({\left(R_{f}\right)}_{0}\right)}\,$

als beringte Räume. Insbesondere ist das projektive Spektrum ${}\operatorname {Proj} {\left(R\right)}$ ein Schema.

Beweis

Dies folgt aus Fakt, angewendet auf ${}R_{f}$, unter Berücksichtigung, dass die homogenen Primideale von ${}D_{+}(f)$ den homogenen Primidealen von ${}R_{f}$ entsprechen. Die Schemaeigenschaft folgt, da die ${}D_{+}(f)$ zu ${}f\in R_{+}$ das projektive Spektrum überdecken.

$\Box$

Beispiel

Das projektive Spektrum zum standard-graduierten Polynomring ${}R[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$, also der projektive Raum, wird durch die ${}D_{+}{\left(X_{i}\right)}$ überdeckt. Man spricht von der affinen Standardüberdeckung des projekiven Raumes. Dabei ist

${}\Gamma {\left(D_{+}(X_{i}),{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{R}^{n}}\right)}={\left(R[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]_{X_{i}}\right)}_{0}=R[{\frac {X_{0}}{X_{i}}},{\frac {X_{1}}{X_{i}}},\ldots ,{\frac {X_{i-1}}{X_{i}}},{\frac {X_{i+1}}{X_{i}}},\ldots ,{\frac {X_{n}}{X_{i}}}]\,$

ein Polynomring in ${}n$ Variablen und daher ist (mit ${}Y_{j}={\frac {X_{j}}{X_{i}}}$ für ${}j\neq i$)

${}D_{+}{\left(X_{i}\right)}=\operatorname {Spek} {\left(R[Y_{0},Y_{1},\ldots ,Y_{i-1},Y_{i+1},\ldots ,Y_{n}]\right)}={{\mathbb {A} }_{R}^{n}}\,.$

Der projektive ${}n$-dimensionale Raum wird also durch ${}n+1$ affine Räume überdeckt.