Hauptteile/Einführung/Textabschnitt

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Lemma  

Es sei eine kommutative - Algebra.

Dann wird der Kern der Multiplikation

als - Untermodul bezüglich der ersten Komponente (und insbesondere als Ideal in ) von den Ausdrücken erzeugt.

Beweis  

Es sei , also in . Dann ist



Definition  

Es sei eine kommutative - Algebra und . Es sei der Kern der Multiplikationsabbildung. Dann nennt man den - Modul

versehen mit der -Multiplikation in der ersten Komponente, den -ten Modul der Hauptteile.


Definition  

Es sei eine kommutative - Algebra und . Dann nennt man die - lineare Abbildung

den universellen Differentialoperator der Ordnung .

Häufig betrachtet man den Modul der Hauptteile als das Paar .



Lemma  

Es sei eine kommutative - Algebra und .

Dann erfüllt der universelle Differentialoperator der Ordnung die Produktformel

für .

Beweis  

Es ist

und dieses Element gehört zu , ist also gleich im Hauptteilmodul. Somit ist



Lemma  

Es sei eine kommutative - Algebra und .

Dann ist der Hauptteilmodul kanonisch isomorph zu dem von allen Symbolen , , erzeugten -Modul, der den Identifizierungen

  1. für und ,

  2. für ,

genügt.

Beweis  

Wir bezeichnen den in der Aussage beschriebenen Modul als , wobei die kanonische Abbildung

bezeichnet. Aufgrund der naheliegenden universellen Eigenschaft von diesem Paar gibt es nach Fakt einen kanonischen - Modulhomomorphismus

Die Abbildung

ist - bilinear und induziert damit einen -Modulhomomorphismus

Wegen der Produkteigenschaft von geht dabei auf (siehe den Beginn des Beweises von Fakt) und man erhält einen -Modulhomomorphismus

Die beiden konstruierten Abbildungen sind invers zueinander.