Tensorprodukt/Moduln/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien ${}V_{1},\ldots ,V_{n},W$ ${}R$-Moduln. Eine Abbildung

$\psi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow W$

heißt ${}R$-multilinear, wenn für jedes ${}i\in {\{1,\ldots ,n\}}$ und jedes ${}(n-1)$-Tupel ${}(v_{1},\ldots ,v_{i-1},v_{i+1},\ldots ,v_{n})$ (mit $v_{j}\in V_{j}$) die induzierte Abbildung

$V_{i}\longrightarrow W,\,u\longmapsto \psi {\left(v_{1},\ldots ,v_{i-1},u,v_{i+1},\ldots ,v_{n}\right)},$

${}R$-linear ist.

Bei ${}n=2$ spricht man von bilinear.

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}V_{1},\ldots ,V_{n},W$ seien ${}R$-Moduln. Es sei ${}F$ der von sämtlichen Symbolen ${}v_{1}\otimes v_{2}\otimes \cdots \otimes v_{n}$ (mit $v_{i}\in V_{i}$) erzeugte freie ${}R$-Modul. Es sei ${}U\subseteq F$ der von allen Elementen der Form

1. ${}r{\left(v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{i-1}\otimes v_{i}\otimes v_{i+1}\otimes \cdots \otimes v_{n}\right)}-v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{i-1}\otimes rv_{i}\otimes v_{i+1}\otimes \cdots \otimes v_{n}$,
2. ${}v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{i-1}\otimes (u+w)\otimes v_{i+1}\otimes \cdots \otimes v_{n}-v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{i-1}\otimes u\otimes v_{i+1}\otimes \cdots \otimes v_{n}-v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{i-1}\otimes w\otimes v_{i+1}\otimes \cdots \otimes v_{n}$,

erzeugte ${}R$-Untermodul. Dann nennt man den Restklassenmodul ${}F/U$ das Tensorprodukt der ${}V_{i}$, ${}i\in {\{1,\ldots ,n\}}$. Es wird mit

$V_{1}\otimes _{R}V_{2}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}V_{n}$

bezeichnet.

Die Bilder von ${}(v_{1},\ldots ,v_{n})$ in ${}V_{1}\otimes _{R}V_{2}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}V_{n}$ bezeichnet man wieder mit ${}v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n}$. Jedes Element aus ${}V_{1}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}V_{n}$ besitzt eine

(nicht eindeutige) Darstellung als

$a_{1}v_{1,1}\otimes \cdots \otimes v_{1,n}+\cdots +a_{m}v_{m,1}\otimes \cdots \otimes v_{m,n}$

(mit $a_{i}\in R$ und $v_{i,j}\in V_{j}$). Insbesondere bilden die (zerlegbaren Tensoren) ${}v_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{n}$ ein ${}R$-Modulerzeugendensystem des Tensorprodukts. Die definierenden Erzeuger des Untermoduls werden zu Gleichungen im Tensorprodukt, sie drücken die Multilinearität aus. Insbesondere gilt

$v_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{i-1}\otimes rv_{i}\otimes v_{i+1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{n}=v_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{j-1}\otimes rv_{j}\otimes v_{j+1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{n}\,$

für beliebige ${}i,j$.

Wichtiger als die Konstruktion des Tensorprodukts ist die folgende universelle Eigenschaft.

Lemma

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}V_{1},\ldots ,V_{n}$ seien ${}R$-Moduln.

1. Die Abbildung

   $\pi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow V_{1}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}V_{n},\,{\left(v_{1},\ldots ,v_{n}\right)}\longmapsto v_{1}\otimes \cdots \otimes v_{n},$

   ist ${}R$-multilinear.

2. Es sei ${}W$ ein weiterer ${}R$-Modul und

   $\psi \colon V_{1}\times \cdots \times V_{n}\longrightarrow W$

   eine multilineare Abbildung. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte ${}R$-lineare Abbildung

   ${\bar {\psi }}\colon V_{1}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}V_{n}\longrightarrow W$

   mit ${}\psi ={\bar {\psi }}\circ \pi$.

Beweis

(1) folgt unmittelbar aus der Definition des Tensorprodukts. (2). Da die ${}v_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{n}$ ein ${}R$-Modulerzeugendensystem von ${}V_{1}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}V_{n}$ sind und

${}{\bar {\psi }}(v_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{n})=\psi (v_{1},\ldots ,v_{n})\,$

gelten muss, kann es maximal eine solche lineare Abbildung geben. Zur Existenz betrachten wir den freien Modul ${}F$ aus der Konstruktion des Tensorprodukts. Die Symbole ${}v_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{n}$ bilden eine Basis von ${}F$, daher legt die Vorschrift ${}\varphi {\left(v_{1}\otimes _{}\cdots \otimes _{}v_{n}\right)}:=\psi (v_{1},\ldots ,v_{n})$ eine lineare Abbildung

$F\longrightarrow W$

fest. Wegen der Multilinearität von ${}\psi$ wird der Untermodul ${}U$ auf ${}0$ abgebildet. Daher induziert diese Abbildung nach dem Faktorisierungssatz einen ${}R$-Modulhomomorphismus

$F/U\cong V_{1}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}V_{n}\longrightarrow W.$

$\Box$

Das Tensorprodukt ist durch diese universelle Eigenschaft bis auf (eindeutige) Isomorphie festgelegt. Wenn es also einen ${}R$-Modul ${}T$ zusammen mit einer multilinearen Abbildung ${}V_{1}\times \cdots \times V_{n}\rightarrow T$ derart gibt, dass jede multilineare Abbildung in einen ${}R$-Modul ${}W$ eindeutig über ${}T$ mit einer linearer Abbildung von ${}T$ nach ${}W$ faktorisiert, so gibt es einen eindeutig bestimmten Isomorphismus zwischen ${}T$ und dem Tensorprodukt ${}V_{1}\otimes _{R}\cdots \otimes _{R}V_{n}$. Daher ist diese universelle Eigenschaft wichtiger als die oben durchgeführte Konstruktion des Tensorprodukts.

Proposition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}U,V,W$ seien ${}R$-Moduln. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Es ist

   ${}U\otimes _{R}V\cong V\otimes _{R}U\,.$

2. Es ist

   ${}U\otimes _{R}{\left(V\otimes _{R}W\right)}\cong {\left(U\otimes _{R}V\right)}\otimes _{R}W\,.$

3. Es ist

   ${}U\otimes _{R}{\left(V\oplus W\right)}\cong {\left(U\otimes _{R}V\right)}\oplus {\left(U\otimes _{R}W\right)}\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Proposition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und seien ${}U,V,W,M$ ${}R$-Moduln. Dann gelten folgende Aussagen.

1. Zu einem ${}R$-Modulhomomorphismus ${}\varphi \colon U\rightarrow V$ gibt es einen natürlichen ${}R$-Modulhomomorphismus ${}\varphi \otimes _{R}\operatorname {Id} _{M}\colon U\otimes _{R}M\rightarrow V\otimes _{R}M$.
2. Zu einer exakten Sequenz

   $U\longrightarrow V\longrightarrow W\longrightarrow 0$

   von ${}R$-Moduln ist auch

   $U\otimes _{R}M\longrightarrow V\otimes _{R}M\longrightarrow W\otimes _{R}M\longrightarrow 0$

   exakt.

Beweis

(1). Die Abbildung

$U\times M\longrightarrow V\otimes _{R}M,\,(u,m)\longmapsto \varphi (u)\otimes m,$

ist ${}R$-bilinear und induziert daher einen ${}R$-Modulhomomorphismus

$U\otimes _{R}M\longrightarrow V\otimes _{R}M.$

(2). Die Surjektivität der Abbildung

$V\otimes _{R}M\longrightarrow W\otimes _{R}M$

ist klar, da die ${}w\otimes m$ ein ${}R$-Modulerzeugendensystem von ${}W\otimes _{R}N$ bilden und diese im Bild der Abbildung liegen. Für die Exaktheit an der anderen Stelle müssen wir die Isomorphie

${}V\otimes _{R}M/\operatorname {bild} {\left(U\otimes _{R}M\right)}\cong W\otimes _{R}M\,$

nachweisen. Dazu beweisen wir für diesen Restklassenmodul, dass er die universelle Eigenschaft des Tensorprodukts erfüllt. Es sei also

$W\times M\longrightarrow N$

eine ${}R$-multilineare Abbildung in einen ${}R$-Modul ${}N$. Somit liegt auch eine eindeutige multilineare Abbildung

$\psi \colon V\times M\longrightarrow N$

und damit eine ${}R$-lineare Abbildung

${\tilde {\psi }}\colon V\otimes _{R}M\longrightarrow N$

vor. Wegen

${}\psi (\operatorname {bild} U\times M)=0\,$

ist

${}{\tilde {\psi }}{\left(\operatorname {bild} U\otimes _{R}M\right)}=0\,$

und daher gibt es eine eindeutige Faktorisierung

$V\otimes _{R}M/\operatorname {bild} {\left(U\otimes _{R}M\right)}\longrightarrow N.$

$\Box$