Tensorprodukt/Moduln/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Es sei ein kommutativer Ring und seien -Moduln. Eine Abbildung

heißt -multilinear, wenn für jedes und jedes -Tupel (mit ) die induzierte Abbildung

-linear ist.

Bei spricht man von bilinear.


Definition  

Es sei ein kommutativer Ring und seien -Moduln. Es sei der von sämtlichen Symbolen (mit ) erzeugte freie -Modul. Es sei der von allen Elementen der Form

  1. ,
  2. ,

erzeugte -Untermodul. Dann nennt man den Restklassenmodul das Tensorprodukt der , . Es wird mit

bezeichnet.

Die Bilder von in bezeichnet man wieder mit . Jedes Element aus besitzt eine

(nicht eindeutige) Darstellung als

(mit und ). Insbesondere bilden die (zerlegbaren Tensoren) ein -Modulerzeugendensystem des Tensorprodukts. Die definierenden Erzeuger des Untermoduls werden zu Gleichungen im Tensorprodukt, sie drücken die Multilinearität aus. Insbesondere gilt

für beliebige .

Wichtiger als die Konstruktion des Tensorprodukts ist die folgende universelle Eigenschaft.



Lemma  

Es sei ein kommutativer Ring und seien -Moduln.

  1. Die Abbildung

    ist -multilinear.

  2. Es sei ein weiterer -Modul und

    eine multilineare Abbildung. Dann gibt es eine eindeutig bestimmte -lineare Abbildung

    mit .

Beweis  

(1) folgt unmittelbar aus der Definition des Tensorprodukts. (2). Da die ein -Modulerzeugendensystem von sind und

gelten muss, kann es maximal eine solche lineare Abbildung geben. Zur Existenz betrachten wir den freien Modul aus der Konstruktion des Tensorprodukts. Die Symbole bilden eine Basis von , daher legt die Vorschrift eine lineare Abbildung

fest. Wegen der Multilinearität von wird der Untermodul auf abgebildet. Daher induziert diese Abbildung nach dem Faktorisierungssatz einen -Modulhomomorphismus


Das Tensorprodukt ist durch diese universelle Eigenschaft bis auf (eindeutige) Isomorphie festgelegt. Wenn es also einen -Modul zusammen mit einer multilinearen Abbildung derart gibt, dass jede multilineare Abbildung in einen -Modul eindeutig über mit einer linearer Abbildung von nach faktorisiert, so gibt es einen eindeutig bestimmten Isomorphismus zwischen und dem Tensorprodukt . Daher ist diese universelle Eigenschaft wichtiger als die oben durchgeführte Konstruktion des Tensorprodukts.



Proposition

Es sei ein kommutativer Ring und seien -Moduln. Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Es ist
  2. Es ist
  3. Es ist

Beweis

Siehe Aufgabe.




Proposition  

Es sei ein kommutativer Ring und seien -Moduln. Dann gelten folgende Aussagen.

  1. Zu einem -Modulhomomorphismus gibt es einen natürlichen -Modulhomomorphismus .
  2. Zu einer exakten Sequenz

    von -Moduln ist auch

    exakt.

Beweis  

(1). Die Abbildung

ist -bilinear und induziert daher einen -Modulhomomorphismus

(2). Die Surjektivität der Abbildung

ist klar, da die ein -Modulerzeugendensystem von bilden und diese im Bild der Abbildung liegen. Für die Exaktheit an der anderen Stelle müssen wir die Isomorphie

nachweisen. Dazu beweisen wir für diesen Restklassenmodul, dass er die universelle Eigenschaft des Tensorprodukts erfüllt. Es sei also

eine -multilineare Abbildung in einen -Modul . Somit liegt auch eine eindeutige multilineare Abbildung

und damit eine -lineare Abbildung

vor. Wegen

ist

und daher gibt es eine eindeutige Faktorisierung