Homogene Polynome/Projektive Nullstellengebilde/Zariski-Topologie/Einführung/Textabschnitt

Für ein beliebiges Polynom ${}F\in K[X_{0},\ldots ,X_{n}]$ ergibt es keinen Sinn zu sagen, ob ein Punkt ${}P\in {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ eine Nullstelle davon ist, da diese Eigenschaft nicht invariant unter der Multiplikation mit einem Skalar ist und daher vom Repräsentanten von ${}P$ abhängt. Für homogene Polynome sieht das anders aus.

Lemma

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}F\in K[X_{0},\ldots ,X_{n}]$ ein homogenes Polynom vom Grad ${}d$.

Dann gilt für einen Punkt ${}\left(x_{0},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$ und einen Skalar ${}\lambda$ die Beziehung

${}F\left(\lambda x_{0},\,\ldots ,\,\lambda x_{n}\right)=\lambda ^{d}F\left(x_{0},\,\ldots ,\,x_{n}\right)\,.$

Insbesondere verschwindet ${}F$ in ${}\left(x_{0},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$ genau dann, wenn ${}F$ für ein beliebiges ${}\lambda \neq 0$ in ${}\lambda \left(x_{0},\,\ldots ,\,x_{n}\right)$ verschwindet.

Beweis

Dies kann man auf den Fall eines Monoms vom Grad ${}d$ zurückführen. Für $X_{0}^{d_{0}}\cdots X_{n}^{d_{n}}$ mit $\sum _{i=0}^{n}d_{i}=d$ und ${}\lambda \in K$ gilt

${}(\lambda X_{0})^{d_{0}}\cdots (\lambda X_{n})^{d_{n}}=(\lambda ^{d_{0}}X_{0}^{d_{0}})\cdots (\lambda ^{d_{n}}X_{n}^{d_{n}})=\lambda ^{d}(X_{0}^{d_{0}}\cdots X_{n}^{d_{n}})\,.$

$\Box$

Man beachte, dass es durch diese Aussage zwar wohldefiniert ist, ob ein homogenes Polynom an einem projektiven Punkt verschwindet oder nicht, dass es aber keinen Sinn ergibt, einem homogenen Polynom einen Wert an jedem Punkt des projektiven Raumes zuzuordnen. Ein homogenes Polynom definiert keine Funktion auf dem projektiven Raum.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper. Zu einem homogenen Polynom ${}F\in K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ bezeichnet man die Menge

$V_{+}(F)={\left\{P=(x_{0},\ldots ,x_{n})\in {\mathbb {P} }_{K}^{n}\mid F(x_{0},\ldots ,x_{n})=0\right\}}\,$

als die projektive Nullstellenmenge zu ${}F$.

Wenn man ${}V_{+}(F)\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ bestimmen möchte, so kann man die disjunkte Zerlegung

${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}=D_{+}(X_{0})\uplus V_{+}(X_{0})\,$

(ebenso für jede andere Variable) ausnutzen. Zur Bestimmung von ${}V_{+}(F)\cap D_{+}(X_{0})$ setzt man in ${}F$ die Variable ${}X_{0}$ gleich ${}1$ und muss die Lösungen im affinen Raum ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n}}\cong D_{+}(X_{0})$ von ${}F{\frac {1}{X_{0}}}=0$ finden. Dabei wird das Polynom inhomogen, gleichzeitig eliminiert man eine Variable. Die Dimension bleibt gleich, die Situation wird aber affin. Zur Bestimmung von ${}V_{+}(F)\cap V_{+}(X_{0})$ setzt man in ${}F$ die Variable ${}X_{0}$ gleich ${}0$ und muss die Lösungen im projektiven Raum ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n-1}\cong V_{+}(X_{0})$ von ${}F{\frac {0}{X_{0}}}=0$ finden. Hier eliminert man eine Variable, das Polynom bleibt homogen, man bleibt projektiv, die Dimension reduziert sich um ${}1$.

Beispiel

Die einfachsten homogenen Polynome in ${}K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ sind die vom Grad ${}1$, also Ausdrücke der Form

${}F=a_{0}X_{0}+a_{1}X_{0}+\cdots +a_{n}X_{n}\,,$

wobei nicht alle Koeffizienten gleichzeitig ${}0$ sein dürfen. Die affine Nullstellenmenge ${}V(F)$ im ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}$ ist ein ${}n$-dimensionaler affiner Raum durch den Nullpunkt, die projektive Nullstellenmenge ${}V_{+}(F)$ im ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$ ist isomorph zu einem ${}(n-1)$-dimensionalen projektiven Raum.

Definition

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}{\mathfrak {a}}\subseteq K[X_{1},\ldots ,X_{n}]$ ein Ideal. Das Ideal heißt homogen, wenn für jedes ${}H\in {\mathfrak {a}}$ mit der homogener Zerlegung ${}H=\sum _{i}H_{i}$ auch ${}H_{i}\in {\mathfrak {a}}$ für alle homogenen Bestandteile ${}H_{i}$ ist.

Definition

Zu einem homogenen Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq K[X_{0},\ldots ,X_{n}]$ nennt man

$V_{+}({\mathfrak {a}})={\left\{P=(x_{0},\ldots ,x_{n})\in {\mathbb {P} }_{K}^{n}\mid F(P)=0{\text{ für }}{\text{alle homogenen }}F\in {\mathfrak {a}}\right\}}\,$

das projektive Nullstellengebilde oder die projektive Varietät zu ${}{\mathfrak {a}}$.

Definition

Der projektive Raum ${}{\mathbb {P} }_{K}^{n}$ wird mit der Zariski-Topologie versehen, bei der die Mengen ${}V_{+}({\mathfrak {a}})\subseteq {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ zu einem homogenen Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$ als abgeschlossen erklärt werden.

Die offenen Mengen des projektiven Raumes sind demnach die Mengen der Form ${}D_{+}({\mathfrak {a}}):=V_{+}({\mathfrak {a}})$ zu einem homogenen Ideal ${}{\mathfrak {a}}\subseteq K[X_{0},X_{1},\ldots ,X_{n}]$. Dabei sind die offenen Mengen ${}D_{+}(X_{i})$ isomorph zu einem affinen Raum der Dimension ${}n$.

Bemerkung  

Ein Punkt ${}P=(a_{0},\ldots ,a_{n})\in {\mathbb {P} }_{K}^{n}$ ist abgeschlossen, und zwar ist ${}P=V_{+}({\mathfrak {a}})$ mit

${}{\mathfrak {a}}={\left(a_{i}X_{j}-a_{j}X_{i}:\,0\leq i,j\leq n\right)}\,.$

Wenn ${}a_{0}\neq 0$ ist, so kann man dies auch als ${}{\left(X_{j}-{\frac {a_{j}}{a_{0}}}X_{0}:\,j\neq 0\right)}$ schreiben. Die Erzeuger ${}a_{i}X_{j}-a_{j}X_{i}$, ${}i\neq 0$, sind dann überflüssig. Dieses Ideal ist offenbar homogenen, und ${}P$ liegt in ${}V_{+}({\mathfrak {a}})$. Sei ${}a_{0}\neq 0$ angenommen. Für einen weiteren Punkt ${}Q=(b_{0},\ldots ,b_{n})\in V_{+}({\mathfrak {a}})$ folgt sofort ${}b_{j}-{\frac {a_{j}}{a_{0}}}b_{0}=0$ für alle ${}j$ bzw.

${}(b_{0},\ldots ,b_{n})={\frac {b_{0}}{a_{0}}}(a_{0},\ldots ,a_{n})\,,$

sodass es sich projektiv um den gleichen Punkt handelt.

Das Ideal ${}{\mathfrak {a}}$ ist kein maximales Ideal im Polynomring, es ist aber maximal unter allen homogenen Idealen, die von ${}(X_{0},\ldots ,X_{n})$ verschieden sind. In ${}{{\mathbb {A} }_{K}^{n+1}}$ definiert es eine Gerade durch den Nullpunkt, und zwar die Gerade, die dem projektiven Punkt ${}P$ entspricht.