Hyperfläche/Hauptkrümmungen/Weingartenabbildung/Einführung/Textabschnitt

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei ${}P\in Y$. Wir definieren verschiedene Krümmungskonzepte unter Bezug auf die Weingartenabbildung

$L_{P}\colon T_{P}Y\longrightarrow T_{P}Y.$

Definition

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei ${}P\in Y$. Dann nennt man jeden Eigenwert der Weingartenabbildung

$L_{P}\colon T_{P}Y\longrightarrow T_{P}Y,\,v\longmapsto -{\left(D_{v}N\right)}{\left(P\right)},$

eine Hauptkrümmung von ${}Y$ in ${}P$.

Definition

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei. Es sei ${}P\in Y$. Dann nennt man jeden Eigenvektor der Weingartenabbildung

$L_{P}\colon T_{P}Y\longrightarrow T_{P}Y,\,v\longmapsto -{\left(D_{v}N\right)}{\left(P\right)},$

eine Hauptkrümmungsrichtung von ${}Y$ in ${}P$.

Statt Hauptkrümmungsrichtung sagt man auch Hauptkrümmungsvektor, von Hauptkrümmungsrichtungen spricht man insbesondere bei Eigenvektoren der Norm ${}1$. Aufgrund von Fakt besitzt die Weingartenabbildung eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren, also von Hauptkrümmungsrichtungen. Im Allgemeinen wählt man eine Orthonormalbasis aus Hauptkrümmungsrichtungen. Die Hauptkrümmungen sind reelle Zahlen, die man häufig der Größe nach ordnet und als

${}\kappa _{1}\leq \kappa _{2}\leq \ldots \leq \kappa _{n-1}\,$

notiert, man spricht von dem Hauptkrümmungstupel. Dabei wird ein ${}\kappa$ so oft angeführt, wie es die Dimension des zugehörigen Eigenraumes, also die geometrische Vielfachheit, angibt.

Gemäß Fakt erhält man die Hauptkrümmungen, indem man die Nullstellen des charakteristischen Polynoms der Weingartenabbildung bestimmt, und die zugehörigen Eigenräume erhält man mit Fakt.

Beispiel

Es seien ${}a_{1},\ldots ,a_{n-1}$ reelle Zahlen, wir betrachten die Funktion

$f\colon \mathbb {R} ^{n-1}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,\left(x_{1},\,\ldots ,\,x_{n-1}\right)\longmapsto a_{1}x_{1}^{2}+\cdots +a_{n-1}x_{n-1}^{2}.$

Gemäß Fakt wird die Weingartenabbildung des Graphen zu ${}f$ im Nullpunkt durch die Hesse-Matrix von ${}f$ beschrieben, also durch

${\begin{pmatrix}2a_{1}&0&0&0\\0&2a_{2}&0&0\\0&0&\ddots &0\\0&0&0&2a_{n-1}\end{pmatrix}}.$

Die Hauptkrümmungen des Graphen im Nullpunkt sind also ${}2a_{1},\ldots ,2a_{n-1}$ und die Hauptkrümmungsrichtungen sind durch die Standardvektoren gegeben. Insbesondere taucht jedes reelle Tupel als Hauptkrümmungstupel einer differenzierbaren Hyperfläche auf.