Hyperfläche/Hauptkrümmungen/Weingartenabbildung/Zweidimensional/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei und sei ${}P\in Y$. Dann nennt man das arithmetische Mittel ${}{\frac {\kappa _{1}+\kappa _{2}}{2}}$ der beiden Hauptkrümmungen in ${}P$ die mittlere Krümmung der Fläche ${}Y$ in ${}P$.

Definition

Es sei ${}W\subseteq \mathbb {R} ^{3}$ offen, ${}h\colon W\rightarrow \mathbb {R}$ eine zweifach stetig differenzierbare Funktion und ${}Y=h^{-1}(c)$ die Faser zu ${}c\in \mathbb {R}$, wobei ${}h$ in jedem Punkt von ${}Y$ regulär sei und sei ${}P\in Y$. Dann nennt man das Produkt ${}\kappa _{1}\cdot \kappa _{2}$ der beiden Hauptkrümmungen in ${}P$ die Gaußkrümmung der Fläche ${}Y$ in ${}P$.

Die Gaußkrümmung ist die Determinante der Weingartenabbildung.

Beispiel

Bei einer Kugeloberfläche zum Radius ${}r$ ist die Weingartenabbildung (zu dem nach innen gerichteten Einheitsnormalenfeld) in jedem Punkt gemäß Beispiel die Streckung mit ${}{\frac {1}{r}}$. Daher ist ${}{\frac {1}{r}}$ die einzige Hauptkrümmung mit Vielfachheit ${}2$ und die Gaußkrümmung ist ${}{\frac {1}{r^{2}}}$.

Beispiel

Für das einschalige Hyperboloid

${}Y={\left\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}-z^{2}=1\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{3}\,$

sind aufgrund der Berechnungen in Beispiel in einem Punkt ${}(x,y,z)\in Y$ die beiden Hauptkrümmungen gleich ${}-{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}$ und ${}{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}^{-{\frac {3}{2}}}$, die Gaußsche Krümmung ist also

$-{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}^{-{\frac {1}{2}}}\cdot {\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}^{-{\frac {3}{2}}}=-{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}^{-2}=-{\frac {1}{{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)}^{2}}}\,.$

Beispiel

Es sei ${}Y$ der Graph zu einer zweifach stetig differenzierbaren Funktion ${}f\colon V\longrightarrow \mathbb {R}$, ${}(x,y)\longmapsto f(x,y)$, auf einer offenen Menge ${}V\subseteq \mathbb {R} ^{2}$. Nach Fakt ist die Weingartenabbildung (zu dem nach oben gerichteten Einheitsnormalenfeld) in jedem Punkt ${}P=(Q,f(Q))$ gemäß Beispiel durch

${\frac {1}{\sqrt {1+{\left({\frac {\partial f}{\partial x}}(Q)\right)}^{2}+{\left({\frac {\partial f}{\partial y}}(Q)\right)}^{2}}}}{\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial x}}(Q)&{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial y}}(Q)\\{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial y}}(Q)&{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial f}{\partial y}}(Q)\end{pmatrix}}$

gegeben. Die Hauptkrümmungsrichtungen kann man direkt mit der Hesse-Matrix ausrechnen, für die Hauptkrümmungen muss man den Vorfaktor mitberücksichtigen. Die Gaußkrümmung ist

${\frac {1}{1+{\left({\frac {\partial f}{\partial x}}(Q)\right)}^{2}+{\left({\frac {\partial f}{\partial y}}(Q)\right)}^{2}}}\det {\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial x}}(Q)&{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial y}}(Q)\\{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial f}{\partial y}}(Q)&{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial f}{\partial y}}(Q)\end{pmatrix}}.$

Beispiel

Es sei ${}I$ ein offenes Intervall und ${}f\colon I\rightarrow \mathbb {R} _{+}$ eine differenzierbare Funktion, es sei ${}Y$ die zugehörige Rotationsfläche (um die ${}x$-Achse) zum Graphen von ${}f$ und sei

${}P={\begin{pmatrix}x_{0}\\f(x_{0})\\0\end{pmatrix}}\in Y\,$

(was keine wesentliche Einschränkung ist). Wir betrachten den Ausschnitt der Rotationsfläche oberhalb von ${}{\left\{(x,z)\mid z^{2}<f(x_{0})\right\}}$ als den Graphen zu

${}g(x,z)={\sqrt {f(x)^{2}-z^{2}}}={\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}^{1/2}\,.$

Die Jacobi-Matrix von ${}g$ ist

$\left({\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}^{-1/2}f(x)f'(x),\,-z{\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}^{-1/2}\right)$

und die Hesse-Matrix von ${}g$ ist

${\begin{pmatrix}-{\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}^{-3/2}f(x)^{2}f'(x)^{2}+{\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}^{-1/2}{\left(f'(x)^{2}+f(x)f^{\prime \prime }(x)\right)}&z{\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}^{-3/2}f(x)f'(x)\\z{\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}^{-3/2}f(x)f'(x)&-{\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}^{-1/2}-z^{2}{\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}^{-3/2}\end{pmatrix}}$

bzw. das ${}{\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}^{-3/2}$-Vielfache von

${}{\begin{aligned}&\,\,\,\,\,\,\,{\begin{pmatrix}-f(x)^{2}f'(x)^{2}+{\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}{\left(f'(x)^{2}+f(x)f^{\prime \prime }(x)\right)}&zf(x)f'(x)\\zf(x)f'(x)&-{\left(f(x)^{2}-z^{2}\right)}-z^{2}\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}f(x)^{3}f^{\prime \prime }(x)-z^{2}f'(x)^{2}-z^{2}f(x)f^{\prime \prime }(x)&zf(x)f'(x)\\zf(x)f'(x)&-f(x)^{2}\end{pmatrix}}.\,\end{aligned}}$

Für den gewählten Punkt ${}P$ ist dies

${}{\frac {1}{f(x_{0})^{3}}}{\begin{pmatrix}f(x_{0})^{3}f^{\prime \prime }(x_{0})&0\\0&-f(x_{0})^{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}f^{\prime \prime }(x_{0})&0\\0&-{\frac {1}{f(x_{0})}}\end{pmatrix}}\,.$

Nach Fakt ist die Weingartenabbildung in ${}P$ gleich

${\frac {1}{\sqrt {1+f'(x_{0})^{2}}}}{\begin{pmatrix}f^{\prime \prime }(x_{0})&0\\0&-{\frac {1}{f(x_{0})}}\end{pmatrix}}.$

Somit sind die beiden Hauptkrümmungen gleich ${}{\frac {f^{\prime \prime }(x_{0})}{\sqrt {1+f'(x_{0})^{2}}}}$ und ${}-{\frac {1}{f(x_{0}){\sqrt {1+f'(x_{0})^{2}}}}}$, die Hauptkrümmungsrichtungen sind die Standardvektoren bzw. ihre Bilder ${}{\begin{pmatrix}1\\f'(x_{0})\\0\end{pmatrix}}$ und ${}{\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$ im Tangentialraum ${}T_{P}Y$. Die Hauptkrümmungsrichtungen verlaufen also längs des Graphen zu ${}f$ und längs der Kreisbewegung der Rotation. Die Gaußkrümmung ist

${\frac {-f^{\prime \prime }(x_{0})}{f(x_{0}){\left(1+f'(x_{0})^{2}\right)}}}.$