Integres Schema/Einführung/Textabschnitt

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Lemma  

In einem integren Schema

sind die Restriktionsabbildungen

zu injektiv.

Beweis  

Sei nicht . Die Menge

ist offen nach Fakt und wegen der Reduziertheit nicht leer. Wegen der Irreduzibilität von ist ebenfalls nicht leer und somit ist die Restriktion von auf ebenfalls nicht .



Beispiel  

Sei ein Körper und . Es ist das einzige minimale Primideal von und daher ist irreduzibel. Wegen und gilt in der Lokalisierung die Gleichheit , und es ist

ein Körper. Die Restriktionsabbildung ist nicht injektiv. Es ist

das Element ist aber in der Lokalisierung nicht .




Lemma  

In einem integren Schema ist zu jeder nichtleeren offenen Menge

der Schnittring ein Integritätsbereich.

Beweis  

Da offen und nicht leer ist, gibt es eine nichtleere offene affine Teilmenge

Nach Fakt genügt es zu zeigen, dass ein Integritätsbereich ist. Es sei das Nilradikal von . Wegen der Irreduzibilität von , die aus der Irreduzibilität von folgt, ist nach Fakt das Ideal ein Primideal. Da die Reduziertheit nach Fakt eine lokale Eigenschaft ist, gilt . Das Nullideal ist also ein Primideal und damit ist ein Integritätsbereich.




Lemma  

Beweis  

Den Halm kann man ausgehend von einer beliebigen nichtleeren affinen offenen Teilmenge bestimmen. Diese haben die Form mit einem kommutativen Ring , der aufgrund von Fakt ein Integritätsbereich ist. Der generische Punkt entspricht dabei dem Nullideal, und die Lokalisierung am Nullideal ergibt den Quotientenkörper von .



Definition  

Zu einem integren Schema nennt man den Halm der Strukturgarbe im generischen Punkt den Funktionenkörper von .

In einem integren Schema ist der Schnittring zu jeder nichtleeren offenen Menge ein Unterring des Funktionenkörpers.