Integrierbare Funktionen/Auf Maßraum/Über Maß des Subgraphen/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}M$ eine Menge und

$f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

eine nichtnegative Funktion. Dann nennt man die Menge

${}S(f)={\left\{(x,y)\in M\times {\overline {\mathbb {R} }}\mid 0\leq y\leq f(x)\right\}}\,$

den Subgraphen der Funktion.

Lemma

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}})$ ein Messraum und

$f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

eine messbare Funktion.

Dann sind der Graph ${}\Gamma (f)$ und der Subgraph ${}S(f)$ messbare Teilmengen in ${}M\times {\overline {\mathbb {R} }}$.

Beweis

Die Projektion

$p_{2}\colon M\times {\overline {\mathbb {R} }}\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }},\,(x,y)\longmapsto y,$

ist nach Fakt messbar, und ebenso ist

$\psi :M\times {\overline {\mathbb {R} }}{\stackrel {p_{1}}{\longrightarrow }}M{\stackrel {f}{\longrightarrow }}{\overline {\mathbb {R} }}$

messbar. Nach Fakt und Fakt ist dann auch die Abbildung

$\varphi :M\times {\overline {\mathbb {R} }}{\stackrel {\psi \times p_{2}}{\longrightarrow }}{\overline {\mathbb {R} }}\times {\overline {\mathbb {R} }}{\stackrel {-}{\longrightarrow }}{\overline {\mathbb {R} }}$

messbar. Es ist

${}\Gamma (f)={\left\{(x,y)\in M\times {\overline {\mathbb {R} }}\mid y=f(x)\right\}}=\varphi ^{-1}(0)\,$

und

${}S(f)={\left\{(x,y)\in M\times {\overline {\mathbb {R} }}\mid 0\leq y\leq f(x)\right\}}=p_{2}^{-1}{\left({\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}\right)}\cap \varphi ^{-1}{\left({\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}\right)}\,,$

so dass diese beiden Mengen messbar sind.

$\Box$

Definition

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$-endlicher Maßraum und

$f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

eine messbare numerische nichtnegative Funktion. Dann heißt

${}\int _{M}f\,d\mu :={\left(\mu \otimes \lambda ^{1}\right)}(S(f))\,$

das Integral von ${}f$ über ${}M$ (zum Maß ${}\mu$).

Diese Definition ist sowohl unmittelbar anschaulich als auch vom theoretischen Standpunkt her sehr schlagkräftig, da sie auf dem Maßbegriff beruht. Dagegen ist sie für Berechnungen direkt nicht geeignet, weshalb wir im Folgenden entsprechende Rechentechniken entwickeln werden. Diese Definition lässt die Möglichkeit zu, dass die Funktion den Wert ${}\infty$ annimmt, und dass das Integral diesen Wert annimmt. Im Fall von numerischen Funktion, die auch negative Werte annehmen können, führt man den Integralbegriff auf die Integrale der positiven und negativen Teilfunktion zurück. Dies ergibt aber nur dann Sinn, wenn beide Teilintegrale endlich sind.

Definition

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$-endlicher Maßraum und

$f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

eine messbare numerische Funktion. Dann heißt ${}f$ integrierbar, wenn die beiden Integrale ${}\int _{M}f_{+}\,d\mu$ und ${}\int _{M}f_{-}\,d\mu$ endlich sind. In diesem Fall nennt man

${}\int _{M}f\,d\mu =\int _{M}f_{+}\,d\mu -\int _{M}f_{-}\,d\mu \,$

das Integral von ${}f$.

Mit dieser Situation ergibt sich der leicht paradoxe Sprachgebrauch, dass eine nichtnegative Funktion stets ein Integral besitzt, dass aber, wenn dieses Integral unendlich ist, die Funktion nicht integrierbar ist. Die Integrierbarkeit ist, abgesehen von der vorausgesetzten Messbarkeit, die aber nahezu immer erfüllt ist, in erster Linie ein Endlichkeitsbegriff. In diese Richtung weist auch das folgende Lemma.

Lemma

Es sei ${}(M,{\mathcal {A}},\mu )$ ein ${}\sigma$-endlicher Maßraum und

$f\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}$

eine messbare numerische Funktion. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.

1. ${}f$ ist integrierbar.
2. Der positive und der negative Teil von ${}f$ sind integrierbar.
3. Die Betragsfunktion ${}\vert {f}\vert$ ist integrierbar.
4. Es gibt eine integrierbare messbare Funktion

   $h\colon M\longrightarrow {\overline {\mathbb {R} }}_{\geq 0}$

   mit ${}\vert {f(x)}\vert \leq h(x)$ für alle ${}x\in M$.

Beweis

Die Äquivalenz von (1) und (2) ist die Definition von integrierbar.
Für die Äquivalenz von (2) und (3) verwendet man die Beziehung ${}\vert {f}\vert =f_{+}+f_{-}$. Dabei ist der Subgraph von ${}\vert {f}\vert$ die Vereinigung der beiden Subgraphen zu ${}f_{+}$ bzw. ${}f_{-}$, wobei der Durchschnitt dieser Subgraphen aus der Menge ${}M\times \{0\}$ besteht und somit nach Aufgabe das Maß ${}0$ besitzt. Also ist

${}{\begin{aligned}\int _{M}\vert {f}\vert \,d\mu &={\left(\mu \otimes \lambda ^{1}\right)}(S(\vert {f}\vert ))\\&={\left(\mu \otimes \lambda ^{1}\right)}(S(f_{+}))+{\left(\mu \otimes \lambda ^{1}\right)}(S(f_{-}))\\&=\int _{M}f_{+}\,d\mu +\int _{M}f_{-}\,d\mu ,\end{aligned}}$

und die beiden Summanden sind genau dann endlich, wenn die Summe endlich ist.
Aus (3) folgt (4), indem man ${}h=\vert {f}\vert$ nimmt.
Wenn (4) erfüllt ist, so ist der Subgraph von ${}\vert {f}\vert$ im Subgraphen von ${}h$ enthalten, und die Monotonie des Maßes ${}\mu \otimes \lambda ^{1}$ ergibt die Endlichkeit von ${}\int _{M}\vert {f}\vert \,d\mu$, also (3). Aus (3) folgt entsprechend (2), da der Subgraph von ${}f_{+}$ bzw. von ${}f_{-}$ eine Teilmenge des Subgraphen zu ${}\vert {f}\vert$ ist.

$\Box$

Für eine messbare Teilmenge ${}T\subseteq M$ setzt man

${}\int _{T}f\,d\mu :=\int _{T}(f{|}_{T})\,d\mu \,,$

d.h. man schaut sich die auf den Teilmaßraum ${}T$ eingeschränkte Funktion an. Man könnte genauso gut die Funktion ${}f$ durch diejenige Funktion ${}{\tilde {f}}$ ersetzen, die auf ${}T$ mit ${}f$ übereinstimmt und die außerhalb davon gleich ${}0$ ist. Wenn man die Indikatorfunktion ${}e_{T}$ zu einer messbaren Teilmenge ${}T\subseteq M$ heranzieht, so ergibt sich

${}\int _{M}e_{T}\,d\mu =\int _{T}1\,d\mu =\mu (T)\,.$

Diese Beschreibung des Maßes als ein Integral kann durchaus nützlich sein.