Integrierbare Funktionen/Auf Maßraum/Über Maß des Subgraphen/Einführung/Textabschnitt
Es sei eine Menge und
eine nichtnegative Funktion. Dann nennt man die Menge
den Subgraphen der Funktion.
Es sei ein Messraum und
eine messbare Funktion.
Dann sind der Graph und der Subgraph messbare Teilmengen in .
Die Projektion
ist nach Fakt messbar, und ebenso ist
messbar. Nach Fakt und Fakt ist dann auch die Abbildung
messbar. Es ist
und
sodass diese beiden Mengen messbar sind.
Es sei ein -endlicher Maßraum und
eine messbare numerische nichtnegative Funktion. Dann heißt
das Integral von über (zum Maß ).
Diese Definition ist sowohl unmittelbar anschaulich als auch vom theoretischen Standpunkt her sehr schlagkräftig, da sie auf dem Maßbegriff beruht. Dagegen ist sie für Berechnungen direkt nicht geeignet, weshalb wir im Folgenden entsprechende Rechentechniken entwickeln werden. Diese Definition lässt die Möglichkeit zu, dass die Funktion den Wert annimmt, und dass das Integral diesen Wert annimmt. Im Fall von numerischen Funktion, die auch negative Werte annehmen können, führt man den Integralbegriff auf die Integrale der positiven und negativen Teilfunktion zurück. Dies ergibt aber nur dann Sinn, wenn beide Teilintegrale endlich sind.
Es sei ein -endlicher Maßraum und
eine messbare numerische Funktion. Dann heißt integrierbar, wenn die beiden Integrale und endlich sind. In diesem Fall nennt man
das Integral von .
Mit dieser Situation ergibt sich der leicht paradoxe Sprachgebrauch, dass eine nichtnegative Funktion stets ein Integral besitzt, dass aber, wenn dieses Integral unendlich ist, die Funktion nicht integrierbar ist. Die Integrierbarkeit ist, abgesehen von der vorausgesetzten Messbarkeit, die aber nahezu immer erfüllt ist, in erster Linie ein Endlichkeitsbegriff. In diese Richtung weist auch das folgende Lemma.
Es sei ein -endlicher Maßraum und
eine messbare numerische Funktion. Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.
- ist integrierbar.
- Der positive und der negative Teil von sind integrierbar.
- Die Betragsfunktion ist integrierbar.
- Es gibt eine integrierbare messbare Funktion
mit für alle .
Die Äquivalenz von (1) und (2) ist die Definition von integrierbar.
Für die Äquivalenz von (2) und (3) verwendet man die Beziehung
.
Dabei ist der
Subgraph
von die Vereinigung der beiden Subgraphen zu
bzw. ,
wobei der Durchschnitt dieser Subgraphen aus der Menge besteht und somit nach
Aufgabe
das Maß besitzt. Also ist
und die beiden Summanden sind genau dann endlich, wenn die Summe endlich ist.
Aus (3) folgt (4), indem man
nimmt.
Wenn (4) erfüllt ist, so ist der Subgraph von im Subgraphen von enthalten, und die Monotonie des Maßes ergibt die Endlichkeit von , also (3). Aus (3) folgt entsprechend (2), da der Subgraph von bzw. von eine Teilmenge des Subgraphen zu ist.
Für eine messbare Teilmenge
setzt man
d.h. man schaut sich die auf den Teilmaßraum eingeschränkte Funktion an. Man könnte genauso gut die Funktion durch diejenige Funktion ersetzen, die auf mit übereinstimmt und die außerhalb davon gleich ist. Wenn man die Indikatorfunktion zu einer messbaren Teilmenge heranzieht, so ergibt sich
Diese Beschreibung des Maßes als ein Integral kann durchaus nützlich sein.