K-Spektrum/D(f)/Eigenschaften/Textabschnitt

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Satz  

Sei ein Körper und sei eine endlich erzeugte -Algebra, .

Dann ist die Zariski-offene Menge in natürlicher Weise homöomorph zu .

Beweis  

Wir betrachten die zum -Algebrahomomorphismus gehörende Spektrumsabbildung

die nach Fakt stetig ist. Es ist , da ja in eine Einheit wird. Daher liegt das Bild von in .
Sei irgendein Punkt, d.h. ist ein -Algebrahomomorphismus mit . Dann ist eine Einheit und daher lässt sich dieser Homomorphismus nach der universellen Eigenschaft der Nenneraufnahme (siehe Aufgabe) zu einem Homomorphismus von nach fortsetzen. Dieser Homomorphismus ist das gesuchte Urbild und daher ist surjektiv.
Zur Injektivität seien zwei -Algebrahomomorphismen

gegeben, deren Verknüpfungen mit

übereinstimmen. Wegen

und ebenso für ist dann aber .
Zur Homöomorphie ist lediglich zu beachten, dass die Zariski-offenen Mengen von von , , überdeckt werden. Dabei kann man annehmen, da eine Einheit in ist. Dann ist aber dieses gleich , wo letzteres die offene Menge in bezeichnet.


Bemerkung  

Fakt besagt insbesondere, dass eine offene Menge selbst das -Spektrum einer endlich erzeugten -Algebra ist (nämlich von , das über von erzeugt wird), und sich daher auch als Zariski-abgeschlossene Menge eines affinen Raumes realisieren lassen muss. Aus

(siehe Aufgabe) erhält man eine solche Realisierung. Sei . Dann liefert der surjektive Ringhomomorphismus

eine (nach Fakt  (3)) abgeschlossene Einbettung von in . Ist die Gesamtinklusion

so kann man die abgeschlossene Einbettung auch als

auffassen, wobei hier wieder das Produkt von Varietäten auftritt.



Beispiel  

Betrachten wir in Anschluss an Bemerkung die offene Menge

Diese offene Menge nennt man die punktierte affine Gerade. Auf dieser offenen Menge ist invertierbar, d.h. die rationale Funktion ist darauf definiert. Diese Abbildung liefert zusammen mit der gegebenen (offenen) Inklusion die abgeschlossene Inklusion

dessen Bild eine (in der affinen Ebene abgeschlossene) Hyperbel ist. Die punktierte affine Gerade und die Hyperbel sind also homöomorph (und die zugehörigen Ringe, nämlich und , sind isomorph).

Hyperbola one over x.svg