Kommutativer Ring/Freie Auflösung/Einführung/Textabschnitt

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Definition  

Es sei ein kommutativer Ring und ein -Modul. Eine freie Auflösung ist ein (linksseitig unendlicher) exakter Komplex

wobei die freie endlich erzeugte -Moduln sind.

Die haben somit die Form mit . Die -Modulhomomorphismen

werden durch Matrizen beschrieben. Da surjektiv ist, muss endlich erzeugt sein, wenn es für ihn eine freie Auflösung gibt. Den Modul kann man aus der Auflösung , bei der man weglässt, als Kokern von rekonstruieren. Die Bedeutung von freien Auflösungen liegt darin, beliebig komplizierte und insbesondere hochgradig nichtfreie Moduln durch freie Moduln zu beschreiben.



Lemma  

Es sei ein noetherscher kommutativer Ring und ein endlich erzeugter -Modul.

Dann besitzt eine freie Auflösung mit endlich erzeugten freien Moduln.

Beweis  

Znächst gibt es einen surjektiven -Modulhomomorphismus

wobei die Standardvektoren auf ein (endliches) Erzeugendensystem von abgebildet werden. Somit hat man eine kurze exakte Sequenz

Nach Fakt ist ein noetherscher Modul und somit ist ebenfalls endlich erzeugt. Man findet daher wieder eine Surjektion

und so kann man induktiv fortfahren.



Definition  

Eine freie Auflösung

eines -Moduls heißt minimal, wenn in jedem Schritt die Abbildung

durch ein Erzeugendensystem von

von minimaler Anzahl gegeben ist.



Lemma

Es sei ein lokaler noetherscher Ring, ein endlich erzeugter -Modul und

eine minimale freie Auflösung von .

Dann ist der Rang von gleich der -Dimension von mit .

Beweis

Siehe Aufgabe.



Satz  

Es sei ein lokaler noetherscher Ring und ein endlich erzeugter -Modul.

Dann ist die minimale freie Auflösung von im folgenden Sinne eindeutig bestimmt: Wenn

und

minimale freie Auflösungen von sind, dann gibt es -Modulisomorphismen

derart, dass die Diagramme

kommutieren.

Beweis  

Wir konstruieren induktiv die , . Für betrachten wir die Situation

Wegen der Minimalität rühren beide Abbildungen von einem minimalen Modulerzeugendensystem der Länge von her, sagen wir

und

Es ist dann

Durch die Festlegung

erhält man dann einen -Modulhomomorphismus von nach , der mit den gegebenen Abbildungen kommutiert. Die Abbildung ist surjektiv, da andernfalls ein echter Untermodul von schon surjektiv auf abbildet würde, was der Minimalität von widerspricht (siehe Aufgabe). Dieser Isomorphismus führt somit auch die Kerne

und

ineinander über. Es sei nun vorausgesetzt, dass die Isomorphismen schon konstruiert sind und die Kerne ineinander überführen. Dann liegt die Situation

vor, wobei das Quadrat rechts kommutiert. Sowohl als auch rühren von einem minimalen Erzeugendensystem von bzw. her. Das im Wesentlichen gleiche Argument wie am Induktionsanfang zeigt, dass es einen Isomorphismus

gibt, der die Kerne ineinander überführt.