Kommutativer Ring/Freie Auflösung/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}M$ ein ${}R$-Modul. Eine freie Auflösung ist ein (linksseitig unendlicher) exakter Komplex

$\ldots \longrightarrow F_{2}\longrightarrow F_{1}\longrightarrow F_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0,$

wobei die ${}F_{i}$ freie endlich erzeugte ${}R$-Moduln sind.

Die ${}F_{i}$ haben somit die Form ${}F_{i}=R^{r_{i}}$ mit ${}r_{i}\in \mathbb {N}$. Die ${}R$-Modulhomomorphismen

$\theta _{i}\colon F_{i+1}=R^{r_{i+1}}\longrightarrow F_{i}=R^{r_{i}}$

werden durch Matrizen beschrieben. Da ${}F_{0}\rightarrow M$ surjektiv ist, muss ${}M$ endlich erzeugt sein, wenn es für ihn eine freie Auflösung gibt. Den Modul ${}M$ kann man aus der Auflösung ${}F_{\bullet }$, bei der man ${}M$ weglässt, als Kokern von ${}\theta _{0}$ rekonstruieren. Die Bedeutung von freien Auflösungen liegt darin, beliebig komplizierte und insbesondere hochgradig nichtfreie Moduln durch freie Moduln zu beschreiben.

Lemma

Es sei ${}R$ ein noetherscher kommutativer Ring und ${}M$ ein endlich erzeugter ${}R$-Modul.

Dann besitzt ${}M$ eine freie Auflösung mit endlich erzeugten freien Moduln.

Beweis

Znächst gibt es einen surjektiven ${}R$-Modulhomomorphismus

$\theta _{-1}\colon F=R^{r_{0}}\longrightarrow M,$

wobei die Standardvektoren ${}e_{i}$ auf ein (endliches) Erzeugendensystem ${}m_{i}$ von ${}M$ abgebildet werden. Somit hat man eine kurze exakte Sequenz

$0\longrightarrow M_{0}=\operatorname {kern} \left(\theta _{-1}\right)\longrightarrow F_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0.$

Nach Fakt ist ${}F_{0}$ ein noetherscher Modul und somit ist ${}M_{0}$ ebenfalls endlich erzeugt. Man findet daher wieder eine Surjektion

$\theta _{0}\colon F_{1}\longrightarrow M_{0}$

und so kann man induktiv fortfahren.

$\Box$

Definition

Eine freie Auflösung

$\ldots \longrightarrow F_{2}\longrightarrow F_{1}\longrightarrow F_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0$

eines ${}R$-Moduls heißt minimal, wenn in jedem Schritt die Abbildung

$\theta _{i}\colon F_{i+1}\longrightarrow M_{i}\subseteq F_{i}$

durch ein Erzeugendensystem von

${}M_{i}=\operatorname {kern} \theta _{i-1}\,$

von minimaler Anzahl gegeben ist.

Lemma

Es sei ${}R$ ein lokaler noetherscher Ring, ${}M$ ein endlich erzeugter ${}R$-Modul und

$\ldots \longrightarrow F_{2}\longrightarrow F_{1}\longrightarrow F_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0$

eine minimale freie Auflösung von ${}M$.

Dann ist der Rang von ${}F_{i}$ gleich der ${}R/{\mathfrak {m}}$-Dimension von ${}M_{i}\otimes _{R}R/{\mathfrak {m}}$ mit ${}M_{i}=\operatorname {kern} \left(\theta _{i-1}\right)$.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Satz

Es sei ${}R$ ein lokaler noetherscher Ring und ${}M$ ein endlich erzeugter ${}R$-Modul.

Dann ist die minimale freie Auflösung von ${}M$ im folgenden Sinne eindeutig bestimmt: Wenn

$\ldots \longrightarrow F_{2}\longrightarrow F_{1}\longrightarrow F_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0$

und

$\ldots \longrightarrow G_{2}\longrightarrow G_{1}\longrightarrow G_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0$

minimale freie Auflösungen von ${}M$ sind, dann gibt es ${}R$-Modulisomorphismen

$\Psi _{i}\colon F_{i}\longrightarrow G_{i}$

derart, dass die Diagramme

${\begin{matrix}F_{i+1}&{\stackrel {\theta _{i}}{\longrightarrow }}&F_{i}&\\\!\!\!\!\!\Psi _{i+1}\downarrow &&\downarrow \Psi _{i}\!\!\!\!\!&\\G_{i+1}&{\stackrel {\theta _{i}'}{\longrightarrow }}&G_{i}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

kommutieren.

Beweis

Wir konstruieren induktiv die ${}\Psi _{i}$, ${}i\in \mathbb {N}$. Für ${}i=0$ betrachten wir die Situation

${\begin{matrix}F_{0}&{\stackrel {\theta _{-1}}{\longrightarrow }}&M&\\\!\!\!\!\!?\downarrow &\nearrow \theta _{-1}'\!\!\!\!\!&\\G_{0}&&&&\!\!\!\!\!\!\!\!.\\\end{matrix}}$

Wegen der Minimalität rühren beide Abbildungen von einem minimalen Modulerzeugendensystem der Länge ${}n$ von ${}M$ her, sagen wir

${}\theta _{-1}(e_{j})=u_{j}\,$

und

${}\theta _{-1}'(e_{j})=v_{j}\,.$

Es ist dann

${}\theta _{-1}(e_{j})=u_{j}=\sum _{i=1}^{n}r_{ij}v_{i}\,.$

Durch die Festlegung

${}\Psi _{0}(e_{j}):=\sum _{i=1}^{n}r_{ij}e_{i}\,$

erhält man dann einen ${}R$-Modulhomomorphismus von ${}F_{0}$ nach ${}G_{0}$, der mit den gegebenen Abbildungen kommutiert. Die Abbildung ist surjektiv, da andernfalls ein echter Untermodul von ${}G_{0}$ schon surjektiv auf ${}M$ abbildet würde, was der Minimalität von ${}G_{0}$ widerspricht (siehe Aufgabe). Dieser Isomorphismus führt somit auch die Kerne

${}M_{0}=\operatorname {kern} \theta _{-1}\,$

und

${}N_{0}=\operatorname {kern} \theta _{-1}'\,$

ineinander über. Es sei nun vorausgesetzt, dass die Isomorphismen ${}\Psi _{i}$ schon konstruiert sind und die Kerne ineinander überführen. Dann liegt die Situation

${\begin{matrix}F_{i+1}&{\stackrel {\theta _{i}}{\longrightarrow }}&M_{i}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&F_{i}&\\\!\!\!\!\!?\downarrow &&\!\!\!\!\!\Psi _{i}{|}_{M_{i}}\downarrow &&\downarrow \Psi _{i}\!\!\!\!\!&&\\G_{i+1}&{\stackrel {\theta _{i}'}{\longrightarrow }}&N_{i}&{\stackrel {}{\longrightarrow }}&G_{i}&\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}$

vor, wobei das Quadrat rechts kommutiert. Sowohl ${}\theta _{i}$ als auch ${}\theta _{i}'$ rühren von einem minimalen Erzeugendensystem von ${}M_{i}$ bzw. ${}N_{i}$ her. Das im Wesentlichen gleiche Argument wie am Induktionsanfang zeigt, dass es einen Isomorphismus

$\Psi _{i+1}\colon F_{i+1}\longrightarrow G_{i+1}$

gibt, der die Kerne ineinander überführt.

$\Box$