Kommutativer Ring/Graduiert/Z/Graduierter Modul/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}R=\bigoplus _{d\in \mathbb {Z} }R_{d}$ ein kommutativer ${}\mathbb {Z}$-graduierter Ring. Ein ${}R$-Modul ${}M$ mit einer direkten Summenzerlegung

${}M=\bigoplus _{d\in \mathbb {Z} }M_{d}\,,$

wobei die ${}M_{d}$ Moduln über ${}R_{0}$ sind und wobei die Skalarmultiplikation die Eigenschaft

${}R_{d}\cdot M_{e}\subseteq M_{d+e}\,$

für alle ${}d,e\in \mathbb {Z}$ erfüllt, heißt ${}\mathbb {Z}$-graduierter Modul über ${}R$.

Dabei heißt ${}M_{d}$ die ${}d$-te Stufe des Moduls. Wenn ${}R_{d}=0$ bzw. ${}M_{d}=0$ für negative ${}d$ ist, so spricht man ${}\mathbb {N}$-graduierten Ringen bzw. Moduln. Wenn

${}R_{0}=K\,$

ein Körper ist, so sind sämtliche Stufen ${}M_{d}$ Vektorräume über ${}K$. Ein ${}\mathbb {Z}$-graduierter Ring ${}R$ ist ein graduierter Modul über sich selbst. Ebenso ist jedes homogene Ideal (also ein von homogenen Elementen erzeugtes Ideal) ${}I\subseteq R$ ein graduierter Untermodul und

${}R/I=\bigoplus _{d\in \mathbb {Z} }R_{d}/I_{d}\,$

ist ein graduierter Restklassenmodul.

Definition

Es sei ${}R=\bigoplus _{d\in \mathbb {Z} }R_{d}$ ein kommutativer ${}\mathbb {Z}$-graduierter Ring und seien ${}M=\bigoplus _{d\in \mathbb {Z} }M_{d}$ und ${}N=\bigoplus _{d\in \mathbb {Z} }N_{d}$ graduierte Moduln über ${}R$. Ein ${}R$-Modulhomomorphismus

$\varphi \colon M\longrightarrow N$

heißt homogen, wenn ${}\varphi (M_{d})\subseteq N_{d}$ für alle ${}d\in \mathbb {Z}$ gilt.

Manchmal nennt man die vorstehenden Homomorphismen auch graduierte Homomorphismen vom Grad ${}0$ und nennt auch solche Homomorphismen homogen, bei denen der Grad um eine bestimmte Zahl verschoben wird. Solche Verschiebungen kann man aber auch durch Verschiebungen in der Graduierung beschreiben.

Definition

Es sei ${}R=\bigoplus _{d\in \mathbb {Z} }R_{d}$ ein kommutativer graduierter Ring und ${}M=\bigoplus _{d\in \mathbb {Z} }M_{d}$ ein ${}\mathbb {Z}$-graduierter Modul über ${}R$. Zu ${}n\in \mathbb {Z}$ versteht man unter ${}M(n)$ den gleichen, aber mit der Graduierung

${}{\left(M(n)\right)}_{d}:=M_{n+d}\,$

versehenen Modul. Man nennt ihn den um den Grad ${}n$ verschobenen Modul.

Speziell spielen die ${}R(n)$ eine wichtige Rolle. Wenn ${}v\in M$ ein homogenes Element vom Grad ${}d$ eines graduierten ${}R$-Moduls ist, so gehört dazu der homogene Modulhomomorphismus

$R(-d)\longrightarrow M,\,1\longmapsto v.$

Lemma

Es sei ${}R=\bigoplus _{d\in \mathbb {Z} }R_{d}$ ein kommutativer ${}\mathbb {Z}$-graduierter Ring und ${}M=\bigoplus _{d\in \mathbb {Z} }M_{d}$ ein ${}\mathbb {Z}$-graduierter Modul über ${}R$.

Wenn ${}M$ ein endlich erzeugter ${}R$-Modul ist, so wird er auch von endlich vielen homogenen Elementen erzeugt und es gibt einen surjektiven homogenen Modulhomomorphismus der Form

$\bigoplus _{i=1}^{k}R(-d_{i})\longrightarrow M.$

Beweis

Siehe Aufgabe.

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