Komplexe Mannigfaltigkeit/Einführung/Textabschnitt

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen


Definition  

Ein topologischer Hausdorff-Raum zusammen mit einer offenen Überdeckung und Homöomorphismen

mit derart, dass die Übergangsabbildungen

Diffeomorphismen sind, heißt komplexe Mannigfaltigkeit. Die Menge der Karten , , nennt man auch den Atlas der Mannigfaltigkeit.

Lokal sieht also eine komplexe Mannigfaltigkeit wie eine offene Teilmenge im aus. Eine komplexe Mannigfaltigkeit ist insbesondere eine reelle Mannigfaltigkeit der reellen Dimension . Hiervon gilt nicht die Umkehrung, da entscheidend bei einer komplexen Mannigfaltigkeit ist, dass die Übergangsabbildungen komplex-differenzierbar ist. Dies ist eine deutlich stärkere Forderung, als dass die Übergangsabbildungen reell-differenzierbar sind.


Beispiel  

Auf der reell zweidimensionalen Sphäre

erhält man über die stereographischen Projektionen ( und steht für Nordpol und Südpol)

und

die Übergangsabbildung

die komplex-differenzierbar ist. Dadurch ist auf der Kugeloberfläche die Struktur einer eindimensionalen komplexen Mannigfaltigkeit gegeben. Diese heißt die komplex-projektive Gerade.