Konvexe Funktionen/Einführung/Textabschnitt

Eine konvexe Teilmenge.

Eine nichtkonvexe Teilmenge.

Definition

Eine Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ heißt konvex, wenn mit je zwei Punkten ${}P,Q\in T$ auch jeder Punkt der Verbindungsstrecke, also jeder Punkt der Form

$rP+(1-r)Q{\text{ mit }}r\in [0,1],$

ebenfalls zu ${}T$ gehört.

Definition

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge und

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Dann nennt man die Menge

${}S(f)={\left\{(x,y)\in T\times \mathbb {R} \mid y\leq f(x)\right\}}\,$

den Subgraphen und

${}E(f)={\left\{(x,y)\in T\times \mathbb {R} \mid y\geq f(x)\right\}}\,$

den Epigraphen der Funktion.

Subgraph und Epigraph sind nach unten bzw. nach oben unbeschränkt. Im Kontext der Integrationstheorie interessiert man sich für den positiven Subgraphen, der durch die ${}x$-Achse nach unten beschränkt ist. Der Graph der Funktion gehört sowohl zum Subgraphen als auch zum Epigraphen.

Der Graph und der Epigraph einer konvexen Funktion.

Definition

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ konvex ist, wenn der Epigraph ${}E(f)$ konvex ist.

Definition

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion. Man sagt, dass ${}f$ konkav ist, wenn der Subgraph ${}S(f)$ konvex ist.

Bei beiden Begriffen muss man lediglich überprüfen, ob die Verbindungsstrecke zwischen je zwei Punkten des Graphen jeweils oberhalb bzw. unterhalb des Graphen verläuft, siehe Aufgabe. Die Verbindungsstrecke zwischen ${}(a,f(a))$ und ${}(b,f(b))$ ist durch ${}f(a)+s{\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}$, ${}s\in [0,b-a]$, bzw. als Ausschnitt (zu ${}x\in [a,b]$) des Graphen zur linearen Funktion

${}g(x)=f(b){\frac {x-a}{b-a}}+f(a){\frac {x-b}{a-b}}={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}x+{\frac {-af(b)+bf(a)}{b-a}}\,$

gegeben. Im differenzierbaren Fall gibt es einfache Ableitungskriterien für diese Verhaltensweisen, wobei wir nur den konvexen Fall anführen.

Satz

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine differenzierbare Funktion.

Dann ist ${}f$ genau dann eine konvexe (konkave) Funktion, wenn die Ableitung ${}f'$ wachsend (fallend) ist.

Beweis

Es sei zunächst ${}f$ konvex und seien zwei Punkte ${}a<b$ aus ${}I$ gegeben. Es sei ${}g\colon [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ die lineare Funktion, die ${}(a,f(a))$ und ${}(b,f(b))$ verbindet. Aufgrund der Konvexität ist ${}f(x)\leq g(x)$ für alle ${}x\in [a,b]$. Für die Differenzenquotienten gilt daher

${}{\begin{aligned}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}&\leq {\frac {g(x)-f(a)}{x-a}}\\&={\frac {g(x)-g(a)}{x-a}}\\&={\frac {g(b)-g(a)}{b-a}}\\&={\frac {g(b)-g(x)}{b-x}}\\&={\frac {f(b)-g(x)}{b-x}}\\&\leq {\frac {f(b)-f(x)}{b-x}}.\end{aligned}}$

Durch Übergang zu den Limiten für ${}x\rightarrow a$ bzw. ${}x\rightarrow b$ folgt

${}f'(a)\leq {\frac {g(b)-g(a)}{b-a}}\leq f'(b)\,.$

Es sei nun ${}f$ als nicht konvex vorausgesetzt und seien zwei Punkte ${}a<b$ aus ${}I$ mit der Eigenschaft gegeben, dass die verbindende Gerade von ${}(a,f(a))$ und ${}(b,f(b))$ nicht vollständig oberhalb des Graphen von ${}f$ verläuft. Es gibt also ein ${}c\in [a,b]$ mit ${}g(c)<f(c)$, wobei wieder ${}g$ die verbindende lineare Funktion ist. Durch Übergang zu ${}f-g$ können wir ${}f(a)=f(b)=0$ und ${}f(c)>0$ annehmen. Nach dem Mittelwertsatz gibt es Punkte ${}s\in [a,c]$ und ${}t\in [c,b]$ mit ${}f'(s)>0$ und ${}f'(t)<0$, sodass ${}f'$ nicht wachsend ist.

$\Box$

Korollar

Es sei ${}I\subseteq \mathbb {R}$ ein Intervall und

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine zweimal differenzierbare Funktion.

Dann ist ${}f$ genau dann eine konvexe Funktion, wenn für die zweite Ableitung ${}f^{\prime \prime }(x)\geq 0$ für alle ${}x\in I$ gilt.

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$

Die folgende Aussage heißt Jensensche Ungleichung.

Satz

Es sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine konvexe Funktion, seien ${}x_{1},\ldots ,x_{n}\in I$ und ${}t_{1},\ldots ,t_{n}\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ mit ${}\sum _{i=1}^{n}t_{i}=1$.

Dann ist

${}f{\left(\sum _{i=1}^{n}t_{i}x_{i}\right)}\leq \sum _{i=1}^{n}t_{i}f(x_{i})\,.$

Beweis

Siehe Aufgabe.

$\Box$