Kreisteilungspolynom/Irreduzibel/Einführung/Textabschnitt

Definition

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ und seien ${}z_{1},\ldots ,z_{\varphi (n)}$ die primitiven komplexen Einheitswurzeln. Dann heißt das Polynom

${}\Phi _{n}=\prod _{i=1}^{\varphi (n)}(X-z_{i})\in {\mathbb {C} }[X]\,$

das ${}n$-te Kreisteilungspolynom.

Nach Konstruktion hat das ${}n$-te Kreisteilungspolynom den Grad ${}{\varphi (n)}$.

Lemma

Es sei ${}n\in \mathbb {N} _{+}$.

Dann gilt in ${}{\mathbb {C} }[X]$ die Gleichung

${}X^{n}-1=\prod _{d{|}n}\Phi _{d}\,.$

Beweis

Jede der ${}n$ verschiedenen ${}n$-ten Einheitswurzeln besitzt eine Ordnung ${}d$, die ein Teiler von ${}n$ ist. Eine ${}n$-te Einheitswurzel der Ordnung ${}d$ ist eine primitive ${}d$-te Einheitswurzel. Die Aussage folgt daher aus

${}{\begin{aligned}X^{n}-1&=\prod _{z{\text{ ist }}n{\text{-te Einheitswurzel}}}(X-z)\\&=\prod _{d{|}n}{\left(\prod _{z{\text{ ist primitive }}d{\text{-te Einheitswurzel}}}(X-z)\right)}\\&=\prod _{d{|}n}\Phi _{d}.\end{aligned}}$

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Lemma

Die Koeffizienten der Kreisteilungspolynome

liegen in ${}\mathbb {Z}$.

Beweis

Induktion über ${}n$. Für ${}n=1$ ist ${}\Phi _{1}=X-1\in \mathbb {Z} [X]$. Für beliebiges ${}n$ betrachten wir die in Fakt bewiesene Darstellung

${}X^{n}-1=\prod _{d{|}n}\Phi _{d}={\left(\prod _{d{|}n,\,d\neq n}\Phi _{d}\right)}\cdot \Phi _{n}\,.$

Der linke Faktor ist ein normiertes Polynom und er besitzt nach der Induktionsvoraussetzung Koeffizienten in ${}\mathbb {Z}$. Daraus folgt mit Aufgabe, dass auch ${}\Phi _{n}$ Koeffizienten in ${}\mathbb {Z}$ besitzt.

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Grundlegend ist die folgende Aussage.

Satz

Die Kreisteilungspolynome ${}\Phi _{n}$ sind irreduzibel über ${}\mathbb {Q}$.

Beweis

 Nehmen wir an, dass ${}\Phi _{n}$ nicht irreduzibel über ${}\mathbb {Q}$ ist. Dann gibt es nach Fakt eine Zerlegung ${}\Phi _{n}=FG$ mit normierten Polynomen ${}F,G\in \mathbb {Z} [X]$ von kleinerem Grad. Wir fixieren eine primitive ${}n$-te Einheitswurzel ${}\zeta$. Dann ist nach Definition der Kreisteilungspolynome ${}\Phi _{n}(\zeta )=0$ und daher ist (ohne Einschränkung) ${}F(\zeta )=0$. Wir können annehmen, dass ${}F$ irreduzibel und normiert ist, also das Minimalpolynom von ${}\zeta$ ist.  Wir werden zeigen, dass jede primitive ${}n$-te Einheitswurzel ebenfalls eine Nullstelle von ${}F$ ist. Dann folgt aus Gradgründen ${}\operatorname {grad} \,(F)={\varphi (n)}=\operatorname {grad} \,(\Phi _{n})$ im Widerspruch zur Reduzibilität. Jede primitive Einheitswurzel kann man als ${}\zeta ^{k}$ mit einer zu ${}n$ teilerfremden Zahl ${}k$ schreiben. Es genügt dabei, den Fall ${}\zeta ^{p}$ mit einer zu ${}n$ teilerfremden Primzahl ${}p$ zu betrachten, da sich jedes ${}\zeta ^{k}$ sukzessive als ${}p$-Potenz von ${}\zeta$ erhalten lässt (wobei man ${}\zeta$ sukzessive durch ${}\zeta ^{p}$ ersetzt und ${}F{\left(\zeta ^{p}\right)}=0$ verwendet).  Nehmen wir also an, dass ${}F{\left(\zeta ^{p}\right)}\neq 0$ ist. Dann muss ${}G{\left(\zeta ^{p}\right)}=0$ sein. Daher ist ${}\zeta$ eine Nullstelle des Polynoms ${}G(X^{p})$ und daher gilt ${}FH=G{\left(X^{p}\right)}$ mit ${}H\in \mathbb {Q} [X]$, da ja ${}F$ das Minimalpolynom von ${}\zeta$ ist. Wegen Aufgabe gehören die Koeffizienten von ${}H$ zu ${}\mathbb {Z}$. Wir betrachten nun die Polynome ${}\Phi _{n},F,G,H$ modulo ${}p$, also als Polynome in ${}\mathbb {Z} /(p)[X]$, wobei wir dafür ${}{\overline {\Phi _{n}}},{\overline {F}}$ usw. schreiben. Aufgrund des Frobeniushomomorphismus in Charakteristik ${}p$ und wegen des kleinen Fermat'schen Satzes gilt

${}{\overline {G}}(X^{p})={\left({\overline {G}}(X)\right)}^{p}\,.$

Daher ist

${}{\overline {F}}{\overline {H}}={\overline {G}}(X^{p})=({\overline {G}}(X))^{p}\,.$

Es sei nun ${}\mathbb {Z} /(p)\subseteq L$ der Zerfällungskörper von ${}X^{n}-1$ über ${}\mathbb {Z} /(p)$, so dass über ${}L$ insbesondere auch ${}{\overline {\Phi _{n}}}$ und damit auch ${}{\overline {F}}$ in Linearfaktoren zerfällt. Es sei ${}u\in L$ eine Nullstelle von ${}{\overline {F}}$. Dann ist ${}u$ wegen der obigen Teilbarkeitsbeziehung auch eine Nullstelle von ${}{\overline {G}}$. Wegen ${}{\overline {\Phi _{n}}}={\overline {F}}{\overline {G}}$ ist dann ${}u$ eine mehrfache Nullstelle von ${}{\overline {\Phi _{n}}}$. Damit besitzt auch ${}X^{n}-1$ eine mehrfache Nullstelle in ${}L$. Nach dem formalen Ableitungskriterium ist aber ${}(X^{n}-1)'=(n\mod p)X^{n-1}$ und dieser Koeffizient ist wegen der vorausgesetzten Teilerfremdheit nicht ${}0$. Also erzeugt das Polynom ${}X^{n}-1$ und seine Ableitung das Einheitsideal, so dass es nach Aufgabe keine mehrfache Nullstellen geben kann und wir einen Widerspruch erhalten.

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Korollar

Der ${}n$-te Kreisteilungskörper ${}K_{n}$ über ${}\mathbb {Q}$ hat die Beschreibung

${}K_{n}=\mathbb {Q} [X]/(\Phi _{n})\,,$

wobei ${}\Phi _{n}$ das ${}n$-te Kreisteilungspolynom bezeichnet.

Der Grad des ${}n$-ten Kreisteilungskörpers ist ${}{\varphi (n)}$.

Beweis

Es ist ${}K_{n}=\mathbb {Q} [\zeta ]$, wobei ${}\zeta$ eine primitive ${}n$-te Einheitswurzel ist. Nach Definition des Kreisteilungspolynoms ist ${}\Phi _{n}(\zeta )=0$ und nach Fakt ist das Kreisteilungspolynom irreduzibel, so dass es sich um das Minimalpolynom von ${}\zeta$ handeln muss. Also ist nach Fakt ${}K_{n}\cong \mathbb {Q} [X]/(\Phi _{n})$.

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