Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 17

Aufgabe (2 Punkte)

Betrachte den Monoidhomomorphismus

${\mathbb{N}}^2⟶\mathbb{Z},e_1⟼1,e_2⟼-1.$

Beschreibe die zugehörige Abbildung zwischen den Monoidringen (für einen Körper $K$) und den zugehörigen $K$-Spektren.

Aufgabe (2 Punkte)

Es seien  $M\subseteq N$  kommutative Monoide. Zeige, dass durch

$\tilde{M}=\{n\in N\mid \text{es gibt }k\in {\mathbb{N}}_{+}\text{ mit }kn\in M\}$

ein Untermonoid von $N$ gegeben ist, das $M$ umfasst.

Aufgabe (6 Punkte)

Es seien  $M\subseteq N$  endlich erzeugte kommutative Monoide mit Kürzungsregel. Zeige, dass für einen Körper $K$ der Ringhomomorphismus  $K[M]\subseteq K[N]$  genau dann endlich ist, wenn es zu jedem  $n\in N$  ein  $k\in {\mathbb{N}}_{+}$  mit  $kn\in M$  gibt.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei  $M=(\mathbb{Q},+)$  die additive Gruppe der rationalen Zahlen. Bestimme $\mathbb{Q}-\mathrm{Spek}(\mathbb{Q}[M])$. Wie sieht es aus, wenn man $\mathbb{Q}$ durch $ℝ$ ersetzt?

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $\phi :M\to N$ ein Homomorphismus von kommutativen Monoiden. Zeige, dass die Menge aller Punkte aus $K-\mathrm{Spek}(K[N])$, die unter der Spektrumsabbildung auf den Einspunkt  $1\in K-\mathrm{Spek}(K[M])$  abgebildet werden, selbst die Struktur eines $K$-Spektrums eines geeigneten Monoids besitzt.

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten Monoide der Form

$M=(\mathbb{Z}/(m),+)$

Beschreibe $K-\mathrm{Spek}(K[M])$ allgemein sowie für die Körper  $K=ℝ,ℂ,\mathbb{Z}/(5)$.  Finde die idempotenten Elemente von $ℂ[\mathbb{Z}/(3)]$.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $M$ ein kommutatives Monoid. Zeige, dass die zugehörige Differenzengruppe  $\Gamma =\Gamma (M)$  eine kommutative Gruppe ist, und dass sie folgende universelle Eigenschaft besitzt: Zu jedem Monoidhomomorphismus

$\phi :M⟶G$

in eine Gruppe $G$ gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus

$\tilde{\phi }:\Gamma ⟶G,$

der $\phi$ fortsetzt.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $M$ ein kommutatives Monoid mit zugehöriger Differenzengruppe  $\Gamma =\Gamma (M)$.  Zeige, dass folgende Aussagen äquivalent sind.

1. $M$ ist ein Monoid mit Kürzungsregel.
2. Die kanonische Abbildung $M\to \Gamma (M)$ ist injektiv.
3. $M$ lässt sich als Untermonoid einer Gruppe realisieren.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper und $G$ eine Gruppe. Dann können wir den Monoidring $K[G]$ betrachten. Es sei nun weiter $M$ ein $K[G]$-Modul. Zeige, dass

a) $M$ nichts anderes ist als ein $K$-Vektorraum $V$ zusammen mit einem Gruppenhomomorphismus $\rho :G\to {\mathrm{Aut}}_K(V)$.

b) ein $K[G]$-Modulhomomorphismus $\phi :M\to M$ eine $K$-lineare Abbildung ist, für die zusätzlich  $\phi \circ \rho (g)=\rho \circ \phi$  für alle  $g\in G$  gilt.

Bemerkung: $\rho$ heißt dann eine Darstellung von $G$. Solche Darstellungen sind oft einfacher zu handhaben als $G$ und man kann mit Hilfe von $\rho$ oft hilfreiche Erkenntnisse über $G$ selbst gewinnen.

Aufgabe (2 Punkte)

Wir betrachten die kommutativen Monoide  $M={\mathbb{N}}^r$  und  $N={\mathbb{N}}^s$.  Zeige, dass ein Monoidhomomorphismus von $M$ nach $N$ eindeutig durch eine Matrix (mit $r$ Spalten und $s$ Zeilen) mit Einträgen aus $\mathbb{N}$ bestimmt ist.

Wie sieht die zugehörige Spektrumsabbildung aus?