Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 19

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei  $M\subseteq \mathbb{N}$  das durch $3,5,7$ erzeugte numerische Untermonoid. Bestimme eine Restklassendarstellung des zugehörigen Monoidringes.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei  $M\subseteq \mathbb{N}$  ein numerisches Monoid, das von teilerfremden Elementen erzeugt werde. Es sei vorausgesetzt, dass die Multiplizität von $M$ mit der Führungszahl von $M$ übereinstimmt. Bestimme ein minimales Erzeugendensystem und die Einbettungsdimension von $M$.

Aufgabe (4 Punkte)

Klassifiziere sämtliche numerische Monoide $M$ (mit teilerfremden Erzeugern) mit Führungszahl  $f(M)\le 6$.  Man gebe jeweils die Einbettungsdimension, die Multiplizität und den Singularitätsgrad an.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei $M$ ein kommutatives Monoid und $R$ ein kommutativer Ring. Charakterisiere, für welche Teilmengen  $I\subseteq M$  die Teilmenge

$R[I]=\underset{m\in I}{⨁}{T}^m\subseteq R[M]$

ein Ideal in $R[M]$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei  $M\subseteq \mathbb{N}$  ein numerisches Monoid und $K$ ein Körper. Definiere

$M_{+}=M\cap {\mathbb{N}}_{+}\text{ und }n{M}_{+}=\{m\in M\mid \text{es gibt eine Darstellung }m=m_1+\cdots +m_n\text{ mit }{m}_i\in M_{+}\}.$

Zeige, dass $n{M}_{+}$ „Ideale“ in $M$ sind, dass zu $M_{+}$ ein maximales Ideal $𝔪$ in $K[M]$ gehört, und dass das zu $n{M}_{+}$ gehörige Ideal gleich ${𝔪}^n$ ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien $M$ und $N$ kommutative Monoide und sei $K$ ein Körper. In welcher Beziehung steht $K-\mathrm{Spek}(K[M\times N])$ zu $K-\mathrm{Spek}(K[M])$ und $K-\mathrm{Spek}(K[N])$?

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei $K$ ein Körper. Finde ein kommutatives Monoid $M$ derart, dass eine Isomorphie

$K[M]\cong K[X,Y,U,V]/(UX-VY)$

vorliegt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Es seien $R$ und $S$ Integritätsbereiche und sei  $R\subseteq S$  eine ganze Ringerweiterung. Es sei  $f\in R$  ein Element, das in $S$ eine Einheit ist. Zeige, dass $f$ dann schon in $R$ eine Einheit ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es seien $R,S,T$ kommutative Ringe und seien $\phi :R\to S$ und $\psi :S\to T$ Ringhomomorphismen derart, dass $S$ ganz über $R$ und $T$ ganz über $S$ ist. Zeige, dass dann auch $T$ ganz über $R$ ist.

(Vergleiche Aufgabe 10.6.)

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei  $R\subseteq S$  eine ganze Erweiterung von Integritätsbereichen und sei  $F\subseteq R$  ein multiplikatives System. Zeige, dass dann auch die zugehörige Erweiterung  $R_F\subseteq S_F$  ganz ist.