Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 19

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Aufgabe (4 Punkte)

Sei das durch erzeugte numerische Untermonoid. Bestimme eine Restklassendarstellung des zugehörigen Monoidringes.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein numerisches Monoid, das von teilerfremden Elementen erzeugt werde. Es sei vorausgesetzt, dass die Multiplizität von mit der Führungszahl von übereinstimmt. Bestimme ein minimales Erzeugendensystem und die Einbettungsdimension von .


Aufgabe (4 Punkte)

Klassifiziere sämtliche numerische Monoide (mit teilerfremden Erzeugern) mit Führungszahl . Man gebe jeweils die Einbettungsdimension, die Multiplizität und den Singularitätsgrad an.


Aufgabe (2 Punkte)

Sei ein kommutatives Monoid und ein kommutativer Ring. Charakterisiere, für welche Teilmengen die Teilmenge

ein Ideal in ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein numerisches Monoid und ein Körper. Definiere

Zeige, dass „Ideale“ in sind, dass zu ein maximales Ideal in gehört, und dass das zu gehörige Ideal gleich ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Seien und kommutative Monoide und sei ein Körper. In welcher Beziehung steht zu und ?


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein Körper. Finde ein kommutatives Monoid derart, dass eine Isomorphie

vorliegt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Seien und Integritätsbereiche und sei eine ganze Ringerweiterung. Es sei ein Element, das in eine Einheit ist. Zeige, dass dann schon in eine Einheit ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Seien kommutative Ringe und seien und Ringhomomorphismen derart, dass ganz über und ganz über ist. Zeige, dass dann auch ganz über ist.

(Vergleiche Aufgabe 10.6.)

Aufgabe (3 Punkte)

Sei eine ganze Erweiterung von Integritätsbereichen und sei ein multiplikatives System. Zeige, dass dann auch die zugehörige Erweiterung ganz ist.