Kurs:Algebraische Kurven (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 9

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Aufgabe (3 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

Bestimme eine algebraische Gleichung für das Bild. Untersuche die Abbildung auf Injektivität und Surjektivität (als Abbildung nach ). Vergleiche diese Abbildung mit den in Aufgabe 6.3 diskutierten Abbildungen.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme für die in Beispiel ***** berechnete Trajektorie die Koordinaten der Punkte, wo die Kurve singulär ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring und sei

eine aufsteigende Kette von Idealen. Zeige, dass die Vereinigung ebenfalls ein Ideal ist. Zeige durch ein einfaches Beispiel, dass die Vereinigung von Idealen im Allgemeinen kein Ideal sein muss.


Aufgabe (3 Punkte)

Sei ein Körper und sei

der Polynomring über in unendlich vielen Variablen. Man beschreibe darin ein nicht endlich erzeugtes Ideal und eine unendliche, echt aufsteigende Idealkette.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein kommutativer Ring und sei ein Ideal mit dem Restklassenring . Zeige, dass die Ideale von eindeutig denjenigen Idealen von entsprechen, die umfassen.

Zeige, dass das Gleiche gilt für Primideale, Radikalideale und maximale Ideale.

Aufgabe (2 Punkte)

Begründe, warum der Ring

noethersch ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass keine Algebra von endlichem Typ über ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Sei ein Körper und sei . Finde eine -Unteralgebra von , die nicht endlich erzeugt ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Man gebe ein Beispiel eines nicht-noetherschen Ringes, dessen Reduktion ein Körper ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass für affin-algebraische Mengen die Beziehung der affin-linearen Äquivalenz eine Äquivalenzrelation ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es seien Polynome und eine Körpererweiterung. Diskutiere, wie sich die verschiedenen Äquivalenzbegriffeaus der siebten Vorlesung für und (und für und ) unter dem Körperwechsel verhalten.