Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 16/kontrolle
- Aufgaben
Es sei , und . Zeige
Es sei eine natürliche Zahl. Bestimme für die Körpererweiterung
und ein Element die Multiplikationsmatrix bezüglich der - Basis , das charakteristische Polynom, die Norm und die Spur.
Es sei eine quadratfreie Zahl . Zeige, dass nicht normal ist.
Es sei und . Bestimme die Anzahl der reellen und die Anzahl der komplexen Einbettungen von .
Analysiere die Fasern über zu , wobei der Zahlbereich zur kubischen Körpererweiterung ist.
Es sei der Ganzheitsring zur kubischen Körpererweiterung . Zeige, dass die Faser über aus mehr als einem Punkt bestehen kann.
Es sei eine Primzahl mit und
mit der zugehörige kubische Zahlbereich, siehe Korollar 16.2. Bestimme Darstellungen für bezüglich der Ganzheitsbasis .
Es seien und teilerfremde quadratfreie natürliche Zahlen mit . Es sei , und . Bestimme eine Ganzheitsbasis des zugehörigen Zahlbereichs zu der Form .
Drücke und durch die neue Basis aus.
Es sei der Zahlbereich zu einer kubischen Erweiterung. Zeige, dass eine Restklassenbeschreibung mit (maximal) drei Variablen und drei Gleichungen besitzt.
Es seien verschiedene quadratfreie Zahlen , die beide den Rest modulo haben. Es sei und . Zeige, dass zu gehört.