Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Arbeitsblatt 16

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Aufgaben

Aufgabe

Es sei , und . Zeige


Aufgabe *

Es sei eine natürliche Zahl. Bestimme für die Körpererweiterung

und ein Element die Multiplikationsmatrix bezüglich der -Basis , das charakteristische Polynom, die Norm und die Spur.


Aufgabe

Es sei eine quadratfreie Zahl . Zeige, dass nicht normal ist.


Aufgabe

Es sei und . Bestimme die Anzahl der reellen und die Anzahl der komplexen Einbettungen von .


Aufgabe

Analysiere die Fasern über zu , wobei der Zahlbereich zur kubischen Körpererweiterung ist.


Aufgabe

Es sei der Ganzheitsring zur kubischen Körpererweiterung . Zeige, dass die Faser über aus mehr als einem Punkt bestehen kann.


Aufgabe *

Es sei eine Primzahl mit und

mit der zugehörige kubische Zahlbereich, siehe Korollar 16.2. Bestimme Darstellungen für bezüglich der Ganzheitsbasis .


Aufgabe *

Es seien und teilerfremde quadratfreie natürliche Zahlen mit . Es sei , und . Bestimme eine Ganzheitsbasis des zugehörigen Zahlbereichs zu der Form .

Drücke und durch die neue Basis aus.


Aufgabe

Es sei der Zahlbereich zu einer kubischen Erweiterung. Zeige, dass eine Restklassenbeschreibung mit (maximal) drei Variablen und drei Gleichungen besitzt.


Aufgabe *

Es seien verschiedene quadratfreie Zahlen , die beide den Rest modulo haben. Es sei und . Zeige, dass zu gehört.



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