Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Vorlesung 21/latex
\setcounter{section}{21}
\zwischenueberschrift{Invariantenringe}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine endliche Körpererweiterung und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Z
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der zugehörige Zahlbereich. Welche Besonderheiten gelten für $R$, wenn die Körpererweiterung eine
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{}
ist, wenn also die Anzahl der
$\Q$-\definitionsverweis {Algebraautomorphismen}{}{}
von $L$ mit dem Grad der Erweiterung übereinstimmt. Wir werden gleich sehen, dass die Körperautomorphismen auf $R$ Ringautomorphismen induzieren und dass daher die Galoisgruppe auch auf $R$ operiert. Dies bewirkt, dass es auf $R$ bzw.
\mathl{\operatorname{Spek} { \left( R \right) }}{} Symmetrien gibt. Wir fixieren einige Sprechweisen. Unter der Operation einer Gruppe $G$ auf einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{}
als Gruppe von
\definitionsverweis {Ringautomorphismen}{}{}
versteht man einen
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabb {} {G} { \operatorname{Aut} \, R
} {.}
\inputdefinition
{}
{
Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{,}
die auf einem
\definitionsverweis {kommutativen Ring}{}{} $R$ als Gruppe von
\definitionsverweis {Ringautomorphismen}{}{} operiert
\zusatzklammer {von rechts} {} {.}
Dann bezeichnet man
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R^G
}
{ =} { { \left\{ f\in R \mid f \sigma = f \text{ für alle } \sigma \in G \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
als den
\definitionswort {Invariantenring}{}
\zusatzklammer {oder
\definitionswort {Fixring}{}} {} {}
von $R$ unter der Operation von $G$.
}
Dies ist eine Verallgemeinerung des aus der Galoistheorie bekannten Konzeptes eines Fixkörpers. Eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
ist nach
Satz 16.6 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019))
genau dann
\definitionsverweis {galoissch}{}{,}
wenn der Fixkörper von $L$ unter der Operation der
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
\mathl{\operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )}{} gleich $K$ ist.
\inputfaktbeweis
{Integritätsbereich/Quotientenkörper/Galoiserweiterung/Ganzer Abschluss/Fixring/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {normaler Integritätsbereich}{}{}
mit
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
$K$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{.}
Es sei $S$ der
\definitionsverweis {ganze Abschluss}{}{}
von $R$ in $L$.}
\faktfolgerung {Dann operiert die
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ = }{ \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf $S$ mit
\definitionsverweis {Invariantenring}{}{}
$R$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\sigma
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ =} { f^n +r_{n-1}f^{n-1} + \cdots + r_2f^2+r_1f+r_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Ganzheitsgleichung}{}{}
für $f$ über $R$. Dann ist
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{0
}
{ =} { \sigma { \left( f^n +r_{n-1}f^{n-1} + \cdots + r_2f^2+r_1f+r_0 \right) }
}
{ =} { \sigma(f)^n +\sigma(r_{n-1})\sigma(f)^{n-1} + \cdots + \sigma(r_2)\sigma(f)^2+\sigma(r_1)\sigma(f)+\sigma(r_0)
}
{ =} { \sigma(f)^n +r_{n-1}\sigma(f)^{n-1} + \cdots + r_2\sigma(f)^2+r_1\sigma(f)+r_0
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
und somit erfüllt auch $\sigma(f)$ eine Ganzheitsgleichung über $R$, also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sigma(f)
}
{ \in }{S
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Deshalb lässt sich $\sigma$ zu einer Abbildung von $S$ nach $S$ einschränken.
Die Gleichheit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{S \cap K
}
{ = }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist klar, da $R$ als normal vorausgesetzt wird. Deshalb ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S^G
}
{ \subseteq} { S \cap L^G
}
{ =} {S \cap K
}
{ =} {R
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die umgekehrte Inklusion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ \subseteq }{S^G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist klar.
\inputfaktbeweis
{Galoiserweiterung/Q/Ganzheitsring/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Z
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die zugehörige Erweiterung der
\definitionsverweis {Zahlbereiche}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann operiert die
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
$G$ auf $R$ mit
\definitionsverweis {Invariantenring}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R^G
}
{ = }{ \Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt direkt aus Satz 21.2.
\inputbeispiel{}
{
Eine
\definitionsverweis {quadratische Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{L
}
{ = }{ \Q[\sqrt{D} ]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einer quadratfreien ganzen Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \neq }{0,1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist stets eine
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{,}
wobei die Galoisgruppe neben der Identität aus der Konjugation
\mathl{\sqrt{D} \mapsto - \sqrt{D}}{} besteht. Diese Konjugation wirkt nach
Satz 21.2
oder direkt nach
Aufgabe 9.3
und
Aufgabe 9.5
auch auf dem zugehörigen
\definitionsverweis {quadratischen Zahlbereich}{}{,}
mit $\Z$ als Invriantenring.
}
Wir beschreiben nun generell Eigenschaften von Invariantenringen zu einer Operation einer endlichen Gruppe.
\inputfaktbeweis
{Gruppenoperation/Integritätsbereich/Fundamentale Eigenschaften/Fakt}
{Proposition}
{}
{
\faktsituation {Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{,}
die auf einem
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{}
$R$ als Gruppe von
\definitionsverweis {Ringautomorphismen}{}{}
\definitionsverweis {operiere}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Eigenschaften.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{Der
\definitionsverweis {Invariantenring}{}{}
$R^G$ ist ein Integritätsbereich.
}{Die Operation induziert eine Operation von $G$ auf dem Quotientenkörper
\mathl{Q(R)}{} als Gruppe von
\definitionsverweis {Körperautomorphismen}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q { \left( R^G \right) }
}
{ \subseteq }{ (Q(R))^G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R \cap (Q(R))^G
}
{ =} {R^G
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{(1) ist wegen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R^G
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
klar.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(2). Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{Q(R)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Quotientenkörper}{}{}
von $R$. Zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\sigma
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
setzt sich der
\definitionsverweis {Ringautomorphismus}{}{}
\mathl{f \mapsto f \sigma}{}
aufgrund der universellen Eigenschaft der Nenneraufnahme
zu einem
\definitionsverweis {Körperautomorphismus}{}{}
\mathl{{ \frac{ f }{ g } } \mapsto { \frac{ f \sigma }{ g \sigma } }}{} fort.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(3). Ein Element aus dem Quotientenkörper
\mathl{Q { \left( R^G \right) }}{} hat die Form
\mathl{{ \frac{ f }{ g } }}{} mit invarianten Elementen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f,g
}
{ \in }{ R^G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es ist also insbesondere invariant unter der induzierten Operation auf $K$. Daher gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q { \left( R^G \right) }
}
{ \subseteq }{ (Q(R))^G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(4). Die Inklusion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R^G
}
{ \subseteq }{ R \cap Q(R)^G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist direkt klar. Die andere Inklusion ergibt sich, da die Operation von $G$ auf
\mathl{Q(R)}{} eingeschränkt auf $R$ die ursprüngliche Operation ist. Wenn also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist und aufgefasst in
\mathl{Q(R)}{} invariant ist, so ist es überhaupt invariant.}
{}
Bei einer endlichen Gruppe gilt in
Proposition 21.5 (3)
sogar Gleichheit, wie die folgende Aussage zeigt.
\inputfaktbeweis
{Endliche Gruppe/Operation auf Integritätsbereich/Quotientenkörper/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {endliche Gruppe}{}{,} die auf einem
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} als Gruppe von
\definitionsverweis {Ringautomorphismen}{}{} operiere.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{Q { \left( R^G \right) }
}
{ =} {(Q(R))^G
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Inklusion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q { \left( R^G \right) }
}
{ \subseteq }{ (Q(R))^G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
nach Proposition 21.5 (3)
für jede Gruppe. Zum Beweis der Umkehrung seien
\mathbed {f,g \in R} {}
{g \neq 0} {}
{} {} {} {,}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ f }{ g } }
}
{ \in }{ (Q(R))^G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben. Wir betrachten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{h
}
{ =} { \prod_{\sigma \in G,\, \sigma \neq e_G} g \sigma
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann gelten in
\mathl{Q(R)}{} die Identitäten
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ { \frac{ f }{ g } }
}
{ =} { { \frac{ hf }{ hg } }
}
{ =} { { \frac{ h f }{ { \left( \prod_{\sigma \in G,\, \sigma \neq e_G} g \sigma \right) } g } }
}
{ =} { { \frac{ hf }{ \prod_{\sigma \in G } g \sigma } }
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
Nach Voraussetzung ist der Bruch und in dieser Darstellung offenbar auch der Nenner
\zusatzklammer {siehe
Aufgabe 21.7} {} {}
invariant. Also muss auch der Zähler invariant sein und somit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ f }{ g } }
}
{ \in }{ { \left( R^G \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Invariantenring/Endliche Gruppe/Ganzheit/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
auf dem eine
\definitionsverweis {endliche Gruppe}{}{}
$G$ durch
\definitionsverweis {Ringautomorphismen}{}{}
operiere.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R^G
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {ganze Erweiterung}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
betrachten wir das Produkt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{P
}
{ =} { \prod_{\sigma \in G} (X- f\sigma )
}
{ \in} { R[X]
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Koeffizienten dieses Polynoms gehören zum
\definitionsverweis {Invariantenring}{}{}
$R^G$. Ferner ist $P$ normiert und es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P(f)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {da ja
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ X- f e_G
}
{ = }{ X-f
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Linearfaktor ist} {} {.}
Somit liefert $P$ eine
\definitionsverweis {Ganzheitsgleichung}{}{}
für $f$ über $R^G$ und daher ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R^G
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {ganz}{}{.}
\zwischenueberschrift{Invariantenring und Quotientenraum}
Es sei $R$ ein kommutativer Ring, $G$ eine endliche Gruppe, die auf $R$ als Gruppe von Ringautomorphismen und damit nach
Proposition 5.1
auch auf
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{X
}
{ = }{ \operatorname{Spek} { \left( R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
als Gruppe von
\definitionsverweis {Homöomorphismen}{}{}
operiere. Dann hat man einerseits den topologischen Quotienten
\mathl{X/G}{} und andererseits den Invariantenring $R^G$ und damit dessen Spektrum
\mathl{\operatorname{Spek} { \left( R^G \right) }}{.} Der topologische Quotient ist einfach der
\definitionsverweis {Bahnenraum}{}{}
versehen mit der
\definitionsverweis {Bildtopologie}{}{.}
Wir zeigen nach einigen Vorbereitungen, dass diese zwei geometrischen Objekte gleich sind, also dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X/G
}
{ =} { \operatorname{Spek} { \left( R^G \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt. Dabei werden wir zeigen, dass die
\definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{}
\maabbdisp {\iota^*} {\operatorname{Spek} { \left( R \right) } } {\operatorname{Spek} { \left( R^G \right) }
} {}
\zusatzklammer {die zur Inklusion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R^G
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gehört} {} {}
die Eigenschaften eines topologischen Quotienten erfüllt.
\inputfaktbeweis
{Invariantenring/Endliche Gruppe/Abgeschlossene Abbildung/Bildtopologie/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,} auf dem eine
\definitionsverweis {endliche Gruppe}{}{} $G$ durch
\definitionsverweis {Ringautomorphismen}{}{} operiere.}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{}
\maabbdisp {\iota^*} { \operatorname{Spek} { \left( R \right) } } { \operatorname{Spek} { \left( R^G \right) }
} {}
\definitionsverweis {surjektiv}{}{}
und
\definitionsverweis {abgeschlossen}{}{.}}
\faktzusatz {Insbesondere trägt
\mathl{\operatorname{Spek} { \left( R^G \right) }}{} die
\definitionsverweis {Bildtopologie}{}{}
unter dieser Abbildung.}
\faktzusatz {}
}
{
Dies folgt aus Lemma 21.7 und aus Satz Anhang 5.3.
\inputfaktbeweis
{Invariantenring/Endliche Gruppe/Faser ist Bahn/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,}
auf dem eine
\definitionsverweis {endliche Gruppe}{}{}
$G$ durch
\definitionsverweis {Ringautomorphismen}{}{}
operiere und es sei
\maabbdisp {\iota^*} { \operatorname{Spek} { \left( R \right) } } { \operatorname{Spek} { \left( R^G \right) }
} {}
die zugehörige
\definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gilt für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p}, {\mathfrak q}
}
{ \in }{ \operatorname{Spek} { \left( R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Äquivalenz:
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \iota^*( {\mathfrak p})
}
{ = }{\iota^*( {\mathfrak q})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\sigma
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sigma^*( {\mathfrak p})
}
{ = }{ {\mathfrak q}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.}
\faktzusatz {Das heißt, dass die
\definitionsverweis {Bahnen der Operation}{}{}
von $G$ auf
\mathl{\operatorname{Spek} { \left( R \right) }}{} mit den
\definitionsverweis {Fasern}{}{}
von $\iota^*$ übereinstimmen.}
\faktzusatz {}
}
{
Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sigma^* ( {\mathfrak p} )
}
{ = }{ \sigma^{-1} ( {\mathfrak p} )
}
{ = }{ {\mathfrak q}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ \in }{ R^G \cap {\mathfrak q}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
so ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{ f \sigma
}
{ \in }{ {\mathfrak p}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \iota^*( {\mathfrak p})
}
{ =} { R^G \cap {\mathfrak p}
}
{ =} { R^G \cap {\mathfrak q}
}
{ =} { \iota^*( {\mathfrak q})
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Primideale in derselben Bahn besitzen also den gleichen Bildpunkt unter der Spektrumsabbildung.
Zum Beweis der Umkehrung betrachten wir die Faser über
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak r}
}
{ \in }{\operatorname{Spek} { \left( R^G \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und es sei ${\mathfrak p}$ ein Element dieser Faser, welches es
nach Korollar 21.8
gibt. Wir müssen zeigen, dass jedes Primideal ${\mathfrak q}$ der Faser in der Bahn durch ${\mathfrak p}$ liegt, dass es also ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\sigma
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sigma^*( {\mathfrak p} )
}
{ = }{ {\mathfrak q}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt. Wir nehmen an, dass dies nicht der Fall sei, und es sei ${\mathfrak q}$ ein Primideal der Faser über ${\mathfrak r}$, das aber nicht zur Bahn durch ${\mathfrak q}$ gehört. Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak q}
}
{ \neq }{ \sigma^*( {\mathfrak p} )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {für alle
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ \sigma
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak q}
}
{ \not \subseteq }{ \sigma^*( {\mathfrak p} )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
da andernfalls die Faser im Widerspruch zu
Lemma Anhang 5.5
nicht nulldimensional wäre.
Nach Lemma 11.10 (Kommutative Algebra)
ist dann auch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ {\mathfrak q}
}
{ \not\subseteq} { \bigcup_{\sigma \in G} \sigma^*( {\mathfrak p} )
}
{ \defeqr} {T
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Sei
\mathbed {f \in {\mathfrak q}} {}
{f \notin T} {}
{} {} {} {.}
Die Menge $T$ wird unter der Gruppenoperation auf sich selbst abgebildet, daher ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f \sigma
}
{ \notin }{T
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Somit ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g
}
{ = }{ \prod_{\sigma \in G} f \sigma
}
{ \notin }{T
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.} Andererseits ist aber
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g
}
{ \in }{R^G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g
}
{ \in }{ {\mathfrak q}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
also ergibt sich der Widerspruch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{g
}
{ \in }{ R^G\cap {\mathfrak q}
}
{ = }{ {\mathfrak r}
}
{ \subseteq }{ {\mathfrak p}
}
{ \subseteq }{ T
}
}
{}{}{.}
\inputfaktbeweis
{Invariantenring/Endliche Gruppe/Quotient ist Spektrum/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{,} auf dem eine
\definitionsverweis {endliche Gruppe}{}{} $G$ durch
\definitionsverweis {Ringautomorphismen}{}{} operiere und es sei
\maabbdisp {\iota^*} { \operatorname{Spek} { \left( R \right) } } { \operatorname{Spek} { \left( R^G \right) }
} {}
die zugehörige
\definitionsverweis {Spektrumsabbildung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mathl{{ \left( \operatorname{Spek} { \left( R^G \right) } , \iota^* \right) }}{} der
\definitionsverweis {Quotient}{}{}
der Gruppenoperation von $G$ auf
\mathl{\operatorname{Spek} { \left( R \right) }}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Die Abbildung
\maabbdisp {\iota^*} { \operatorname{Spek} { \left( R \right) } } { \operatorname{Spek} { \left( R^G \right) }
} {}
ist
nach Korollar 21.8
\definitionsverweis {surjektiv}{}{,}
so dass
nach Lemma 21.9
die Punkte aus
\mathl{\operatorname{Spek} { \left( R^G \right) }}{} den Bahnen der Gruppenoperation entsprechen. Daher ist
\mathl{\operatorname{Spek} { \left( R^G \right) }}{} ein mengentheoretischer Quotient.
Nach Korollar 21.8 trägt
\mathl{\operatorname{Spek} { \left( R^G \right) }}{} die
\definitionsverweis {Bildtopologie}{}{,}
so dass es sich auch um einen topologischen Quotienten handelt.
\inputfaktbeweis
{Galoiserweiterung/Q/Ganzheitsring/Faserbeschreibung/Fakt}
{Korollar}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Z
}
{ \subseteq }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die zugehörige Erweiterung der
\definitionsverweis {Zahlbereiche}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ \in }{\Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Primzahl und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak p} , {\mathfrak q}
}
{ \in }{ \operatorname{Spec} { \left( R \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Primideale}{}{}
oberhalb von $(p)$.}
\faktfolgerung {Dann sind die
\definitionsverweis {lokalen Ringe}{}{}
\mathkor {} {R_{\mathfrak p}} {und} {R_{\mathfrak q}} {}
und die
\definitionsverweis {Restekörper}{}{}
\mathkor {} {\kappa ( {\mathfrak p} )} {und} {\kappa ( {\mathfrak q} )} {}
zueinander
\definitionsverweis {isomorph}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Nach
Korollar 21.3
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R^G
}
{ = }{\Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Wenn
\mathkor {} {{\mathfrak p}} {und} {{\mathfrak q}} {}
auf das gleiche Primideal in $\Z$ runterschneiden, so gibt es nach
Lemma 21.9
einen Automorphismus
\maabbdisp {\sigma} {R} {R
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sigma^{-1} ( {\mathfrak p} )
}
{ = }{ {\mathfrak q}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Dazu gehört ein Isomorphismus
\maabbdisp {} {R_{\mathfrak p} } {R_{\mathfrak q}
} {}
und ein Isomorphismus der Restekörper.