Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Vorlesung 21

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Invariantenringe

Es sei eine endliche Körpererweiterung und der zugehörige Zahlbereich. Welche Besonderheiten gelten für , wenn die Körpererweiterung eine Galoiserweiterung ist, wenn also die Anzahl der -Algebraautomorphismen von mit dem Grad der Erweiterung übereinstimmt. Wir werden gleich sehen, dass die Körperautomorphismen auf Ringautomorphismen induzieren und dass daher die Galoisgruppe auch auf operiert. Dies bewirkt, dass es auf bzw. Symmetrien gibt. Wir fixieren einige Sprechweisen. Unter der Operation einer Gruppe auf einem kommutativen Ring als Gruppe von Ringautomorphismen versteht man einen Gruppenhomomorphismus .


Definition  

Es sei eine Gruppe, die auf einem kommutativen Ring als Gruppe von Ringautomorphismen operiert (von rechts). Dann bezeichnet man

als den Invariantenring (oder Fixring) von unter der Operation von .

Dies ist eine Verallgemeinerung des aus der Galoistheorie bekannten Konzeptes eines Fixkörpers. Eine endliche Körpererweiterung ist nach Satz 16.6 (Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2018-2019)) genau dann galoissch, wenn der Fixkörper von unter der Operation der Galoisgruppe gleich ist.



Satz  

Es sei ein normaler Integritätsbereich mit Quotientenkörper und sei eine Galoiserweiterung. Es sei der ganze Abschluss von in .

Dann operiert die Galoisgruppe auf mit Invariantenring .

Beweis  

Es sei und . Es sei

eine Ganzheitsgleichung für über . Dann ist

und somit erfüllt auch eine Ganzheitsgleichung über , also . Deshalb lässt sich zu einer Abbildung von nach einschränken.

Die Gleichheit ist klar, da als normal vorausgesetzt wird. Deshalb ist

die umgekehrte Inklusion ist klar.




Korollar  

Es sei eine Galoiserweiterung und die zugehörige Erweiterung der Zahlbereiche.

Dann operiert die Galoisgruppe auf mit Invariantenring .

Beweis  

Dies folgt direkt aus Satz 21.2.



Beispiel  

Eine quadratische Körpererweiterung mit einer quadratfreien ganzen Zahl ist stets eine Galoiserweiterung, wobei die Galoisgruppe neben der Identität aus der Konjugation besteht. Diese Konjugation wirkt nach Satz 21.2 oder direkt nach Aufgabe 9.3 und Aufgabe 9.5 auch auf dem zugehörigen quadratischen Zahlbereich, mit als Invriantenring.


Wir beschreiben nun generell Eigenschaften von Invariantenringen zu einer Operation einer endlichen Gruppe.



Proposition  

Es sei eine Gruppe, die auf einem Integritätsbereich als Gruppe von Ringautomorphismen operiere. Dann gelten folgende Eigenschaften.

  1. Der Invariantenring ist ein Integritätsbereich.
  2. Die Operation induziert eine Operation von auf dem Quotientenkörper als Gruppe von Körperautomorphismen.
  3. Es ist .
  4. Es ist

Beweis  

(1) ist wegen klar.
(2). Es sei der Quotientenkörper von . Zu jedem setzt sich der Ringautomorphismus aufgrund der universellen Eigenschaft der Nenneraufnahme zu einem Körperautomorphismus fort.
(3). Ein Element aus dem Quotientenkörper hat die Form mit invarianten Elementen . Es ist also insbesondere invariant unter der induzierten Operation auf . Daher gilt .
(4). Die Inklusion ist direkt klar. Die andere Inklusion ergibt sich, da die Operation von auf eingeschränkt auf die ursprüngliche Operation ist. Wenn also ist und aufgefasst in invariant ist, so ist es überhaupt invariant.


Bei einer endlichen Gruppe gilt in Proposition 21.5  (3) sogar Gleichheit, wie die folgende Aussage zeigt.



Lemma  

Es sei eine endliche Gruppe, die auf einem Integritätsbereich als Gruppe von Ringautomorphismen operiere.

Dann ist

Beweis  

Die Inklusion gilt nach Proposition 21.5  (3) für jede Gruppe. Zum Beweis der Umkehrung seien , , mit gegeben. Wir betrachten

Dann gelten in die Identitäten

Nach Voraussetzung ist der Bruch und in dieser Darstellung offenbar auch der Nenner (siehe Aufgabe 21.7) invariant. Also muss auch der Zähler invariant sein und somit ist .




Lemma  

Es sei ein kommutativer Ring, auf dem eine endliche Gruppe durch Ringautomorphismen operiere.

Dann ist eine ganze Erweiterung.

Beweis  

Zu betrachten wir das Produkt

Die Koeffizienten dieses Polynoms gehören zum Invariantenring . Ferner ist normiert und es ist (da ja ein Linearfaktor ist). Somit liefert eine Ganzheitsgleichung für über und daher ist ganz.



Invariantenring und Quotientenraum

Es sei ein kommutativer Ring, eine endliche Gruppe, die auf als Gruppe von Ringautomorphismen und damit nach Proposition 5.1 auch auf als Gruppe von Homöomorphismen operiere. Dann hat man einerseits den topologischen Quotienten und andererseits den Invariantenring und damit dessen Spektrum . Der topologische Quotient ist einfach der Bahnenraum versehen mit der Bildtopologie. Wir zeigen nach einigen Vorbereitungen, dass diese zwei geometrischen Objekte gleich sind, also dass

gilt. Dabei werden wir zeigen, dass die Spektrumsabbildung

(die zur Inklusion gehört) die Eigenschaften eines topologischen Quotienten erfüllt.



Korollar  

Es sei ein kommutativer Ring, auf dem eine endliche Gruppe durch Ringautomorphismen operiere.

Dann ist die Spektrumsabbildung

surjektiv und abgeschlossen.

Insbesondere trägt die Bildtopologie unter dieser Abbildung.

Beweis  

Dies folgt aus Lemma 21.7 und aus Satz Anhang 5.3.





Lemma  

Es sei ein kommutativer Ring, auf dem eine endliche Gruppe durch Ringautomorphismen operiere und es sei

die zugehörige Spektrumsabbildung.

Dann gilt für die Äquivalenz: genau dann, wenn es ein mit gibt.

Das heißt, dass die Bahnen der Operation von auf mit den Fasern von übereinstimmen.

Beweis  

Wenn ist und , so ist auch , also ist

Primideale in derselben Bahn besitzen also den gleichen Bildpunkt unter der Spektrumsabbildung.

Zum Beweis der Umkehrung betrachten wir die Faser über und es sei ein Element dieser Faser, welches es nach Korollar 21.8 gibt. Wir müssen zeigen, dass jedes Primideal der Faser in der Bahn durch liegt, dass es also ein mit gibt.  Wir nehmen an, dass dies nicht der Fall sei, und es sei ein Primideal der Faser über , das aber nicht zur Bahn durch gehört. Aus (für alle ) folgt , da andernfalls die Faser im Widerspruch zu Lemma Anhang 5.5 nicht nulldimensional wäre. Nach Lemma 11.10 (Kommutative Algebra) ist dann auch

Sei , . Die Menge wird unter der Gruppenoperation auf sich selbst abgebildet, daher ist auch . Somit ist auch . Andererseits ist aber und , also ergibt sich der Widerspruch .




Satz  

Es sei ein kommutativer Ring, auf dem eine endliche Gruppe durch Ringautomorphismen operiere und es sei

die zugehörige Spektrumsabbildung.

Dann ist der Quotient der Gruppenoperation von auf .

Beweis  

Die Abbildung

ist nach Korollar 21.8 surjektiv, so dass nach Lemma 21.9 die Punkte aus den Bahnen der Gruppenoperation entsprechen. Daher ist ein mengentheoretischer Quotient. Nach Korollar 21.8 trägt die Bildtopologie, so dass es sich auch um einen topologischen Quotienten handelt.



Korollar  

Es sei eine Galoiserweiterung und die zugehörige Erweiterung der Zahlbereiche. Es sei eine Primzahl und seien Primideale oberhalb von .

Dann sind die lokalen Ringe und und die Restekörper und zueinander isomorph.

Beweis  

Nach Korollar 21.3 ist . Wenn und auf das gleiche Primideal in runterschneiden, so gibt es nach Lemma 21.9 einen Automorphismus

mit . Dazu gehört ein Isomorphismus

und ein Isomorphismus der Restekörper.



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