Kurs:Algebraische Zahlentheorie (Osnabrück 2020-2021)/Vorlesung 25/latex
\setcounter{section}{25}
\zwischenueberschrift{Zahlbereiche als Gitter}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Q
}
{ \subseteq }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$n$. Gemäß
Satz 7.12
gibt es $n$ verschiedene Einbettungen von $K$ in ${\mathbb C}$. Diese kann man zur komplexen Gesamteinbettung
\maabbdisp {\tau} {K} { {\mathbb C}^n
} {}
zusammenfassen. Insbesondere ist das Bild des Ganzheitsringes $R$ unter dieser Abbildung interessant und erlaubt einen Zugang zu $R$, bei dem Methoden der diskreten Geometrie, der linearen Algebra, der Maßtheorie eingesetzt werden können. Nach
Korollar 8.6
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ \cong} {\Z^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei die Standardbasis einer
\definitionsverweis {Ganzheitsbasis}{}{}
\mathl{b_1 , \ldots , b_n}{} von $R$ entspricht. Diese legt die komplexe
\definitionsverweis {Ganzheitsmatrix}{}{}
\mathdisp {{ \left( \tau_j(b_k) \right) }_{1 \leq j,k \leq n}} { }
fest. Sie definiert ein \anfuehrung{komplexes Gitter}{} im ${\mathbb C}^n$, das Quadrat ihrer
Determinante ist
nach Lemma 8.9
die
\definitionsverweis {Diskriminante}{}{,}
u.s.w. Allerdings entwickeln die angesprochen Methoden ihre Schlagkraft deutlicher, wenn man zu der komplexen Gesamteinbettung eine reelle Version entwickelt.
Bei einer Einbettung
\maabbdisp {\sigma} {K} { {\mathbb C}
} {}
unterscheidet man, ob das Bild innerhalb der reellen Zahlen liegt oder nicht. Im ersten Fall spricht man von einer \stichwort {reellen Einbettung} {.} Wenn $\sigma$ keine reelle Einbettung ist, so spricht man von einer komplexen Einbettung, in diesem Sinn ist also eine reelle Einbettung nicht komplex. Zu einer komplexen Einbettung $\sigma$ ist auch die konjugiert-komplexe Einbettung
\mathdisp {\overline{ \sigma } : K \stackrel{\sigma }{ \longrightarrow} {\mathbb C} \stackrel{ \text{komplexe Konjugation} }{\longrightarrow } {\mathbb C}} { }
eine komplexe Einbettung, und zwar ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \sigma
}
{ \neq }{ \overline{ \sigma }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
denn sonst wäre $\sigma$ eine reelle Einbettung. Komplexe Einbettungen treten also immer paarweise auf. Es sei $r$ die Anzahl der reellen Einbettungen und $2s$ die Anzahl der komplexen Einbettungen, also $s$ sei die Anzahl der Paare von komplexen Einbettungen. Dann gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ =} { r+2s
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Häufig fixiert man zu jedem Paar von komplexen Einbettungen eine Einbettung davon, da sich die andere daraus direkt ablesen lässt. Die Wahl ist dabei willkürlich. Alle numerisch möglichen Kombinationen von
\mathkor {} {r} {und} {s} {}
treten auch auf.
Es seien
\mathbed {\rho_i} {}
{i=1 , \ldots , r} {}
{} {} {} {}
die reellen Einbettungen und
\mathbed {\sigma_j} {}
{j=1 , \ldots , s} {}
{} {} {} {}
Repräsentanten der Paare von komplexen Einbettungen. Dies definiert eine Gesamteinbettung
\maabbdisp {} {K} { \R^r \times {\mathbb C}^s
} {,}
die wir die \stichwort {reelle Gesamteinbettung} {} nennen. Wenn man einzelne komplexe Einbettungen durch ihre konjugierten Einbettungen ersetzt, so ergibt sich ein natürlicher $\R$-linearer Isomorphismus. Dabei gilt als reeller Vektorraum
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \R^r \times {\mathbb C}^s
}
{ \cong} { \R^r \times \R^{2s}
}
{ =} { \R^n
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
d.h. die reelle Dimension des Einbettungsraumes stimmt mit dem Grad der Körpererweiterung überein. Zwischen der reellen Gesamteinbettung und der komplexen Gesamteinbettung besteht der Zusammenhang
\mathdisp {\begin{matrix}K & \stackrel{ \tau^\R }{\longrightarrow} & \R^r \times {\mathbb C}^s & \\ & \!\!\! \!\! \tau \searrow & \downarrow \psi \!\!\! \!\! & \\ & & {\mathbb C}^{r+2s} & \!\!\!\!\! \!\!\! , \\ \end{matrix}} { }
wobei $\psi$ in den ersten $r$ Komponenten die natürliche Einbettung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\R
}
{ \subset }{{\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und in den hinteren Komponenten die Abbildung
\maabbele {} { {\mathbb C} } { {\mathbb C} \times {\mathbb C}
} {z} { (z, \overline{ z } )
} {,}
ist. Somit ist $\psi$ eine $\R$-lineare Abbildung. Ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b
}
{ \in }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
wird unter der reellen Gesamteinbettung auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tau^\R (b)
}
{ =} { \begin{pmatrix} \rho_1(b) \\\vdots\\ \rho_r(b)\\
\operatorname{Re} \, { \left( \sigma_1(b) \right) }\\ \operatorname{Im} \, { \left( \sigma_1(b) \right) }\\ \vdots\\
\operatorname{Re} \, { \left( \sigma_s(b) \right) }\\ \operatorname{Im} \, { \left( \sigma_s(b) \right) } \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und unter der komplexen Gesamteinbettung auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \tau (b)
}
{ =} { \begin{pmatrix} \rho_1(b) \\\vdots\\ \rho_r(b)\\ \sigma_1(b)\\ \overline{ \sigma }_1(b)\\ \vdots\\ \sigma_s(b)\\ \overline{ \sigma }_s(b) \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
abgebildet.
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Wurzel5.png} }
\end{center}
\bildtext {Das Gitter zum Zahlbereich
\mathl{\Z[\sqrt{-5}]}{} und zum Ideal
\mathl{(2,1+ \sqrt{-5})}{} (blau, mit einer Grundmasche).} }
\bildlizenz { Wurzel5.png } {} {MGausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
Die reelle Gesamtabbildung ist trivialerweise injektiv, da sie ja sogar in jeder einzelnen Komponente injektiv ist. Für die Gittertheorie der algebraischen Zahlen
\zusatzklammer {Minkowski-Theorie} {} {}
ist aber entscheidend, dass das Bild des Rings der ganzen Zahlen ein Gitter in diesem $\R^n$ ist, also nicht in einem reellen Untervektorraum kleinerer Dimension liegt. Der Zahlbereich wird auf ein Gitter abgebildet, eine Ganzheitsbasis auf eine Gitterbasis.
\inputdefinition
{}
{
Es sei $R$ ein \definitionsverweis {Zahlbereich}{}{} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $n$ mit $r$ reellen Einbettungen und $s$ Paaren von komplexen Einbettungen. Es sei
\maabbdisp {\tau^\R} {R} { \R^r \times {\mathbb C}^s \cong \R^r \times \R^{2s}
} {}
die reelle Gesamteinbettung. Es sei
\mathl{b_1 , \ldots , b_n}{} eine
\definitionsverweis {Ganzheitsbasis}{}{}
von $R$. Dann nennt man die reelle
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {{ \left( \tau^\R_j (b_k) \right) }_{1 \leq j,k \leq n}} { }
die
\definitionswort {reelle Ganzheitsmatrix}{}
\zusatzklammer {zu dieser Basis} {} {.}
}
Die reelle Ganzheitsmatrix steht mit der komplexen Ganzheitsmatrix in dem oben durch $\psi$ beschriebenen Zusammenhang.
\inputfaktbeweis
{Zahlbereich/Einbettung/Gitter/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$n$ mit $r$
\definitionsverweis {reellen Einbettungen}{}{}
und $s$ Paaren von komplexen Einbettungen. Es sei
\maabbdisp {\tau^\R} {K} { \R^r \times {\mathbb C}^s \cong \R^n
} {}
die reelle Gesamteinbettung.}
\faktfolgerung {Dann ist das Bild des
\definitionsverweis {Ganzheitsringes}{}{}
von $K$ unter $\tau$ ein
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
in $\R^n$}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mathl{b_1 , \ldots , b_n}{} eine
\definitionsverweis {Ganzheitsbasis}{}{}
von $R$. Es ist zu zeigen, dass die
\mathbed {\tau^\R (b_k)} {}
{k= 1 , \ldots , n} {}
{} {} {} {,}
linear unabhängig sind. Über die $\R$-lineare Abbildung
\maabbeledisp {} { \R^r \times \R^{2s}} { {\mathbb C}^{r} \times {\mathbb C}^{2s}
} {\begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots\\ x_r\\u_1\\ v_1\\ \vdots\\ u_s\\ v_s \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} x_1 \\ \vdots\\ x_r\\u_1 + { \mathrm i} v_1\\ u_1 - { \mathrm i} v_1\\ \vdots\\ u_s + { \mathrm i} v_s\\ u_s - { \mathrm i} v_s \end{pmatrix}
} {,}
erhält man aus der reellen Gesamteinbettung die komplexe Gesamteinbettung. Wären die Elemente $\R$-linear abhängig, so würde das auch für die Bilder unter der komplexen Gesamteinbettung gelten. Doch dies wäre ein Widerspruch zur Tatsache, dass die Diskriminante von
\mathl{b_1 , \ldots , b_n}{} nicht $0$ ist, siehe
Lemma 8.3.
Wir werden dieses Gitter im $\R^n$ zumeist mit $\Gamma$ oder $\Gamma_R$ oder $\Gamma_K$ bezeichnen. Die reelle Gesamteinbettung liefert einen Gruppenisomorphismus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R
}
{ \cong }{ \Gamma
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
\inputbeispiel{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ < }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {quadratfrei}{}{}
und $A_D$ der zugehörige
\definitionsverweis {imaginär-quadratische Zahlbereich}{}{.}
Dann liefert eine fixierte Einbettung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A_D
}
{ \subseteq }{ \Q[ \sqrt{D} ]
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ \cong }{ \R^2
}
{ }{
}
}
{}{}{}
direkt eine Realisierung als Gitter im Sinne von
Satz 25.2.
Dem Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ q_1 + q_2 \sqrt{D}
}
{ = }{ q_1 + q_2 \sqrt{ \betrag { D } } { \mathrm i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
entspricht in der reellen Ebene das Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} q_1 \\q_2 \sqrt{-D}) \end{pmatrix}
}
{ = }{ \begin{pmatrix} q_1 \\ q_2 \sqrt{ \betrag { D } }) \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Die
\definitionsverweis {Ganzheitsbasis}{}{}
\mathl{1, \sqrt{D}}{} bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ = }{2,3 \mod 4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bzw.
\mathl{1, { \frac{ 1+ \sqrt{D} }{ 2 } }}{} bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ = }{ 1 \mod 4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {vergleiche
Satz 9.8} {} {}
wird unter der reellen Gesamteinbettung auf die
\definitionsverweis {reelle Ganzheitsmatrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \sqrt{ \betrag { D } } \end{pmatrix}} { }
bzw.
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & { \frac{ 1 }{ 2 } } \\ 0 & { \frac{ \sqrt{ \betrag { D } } }{ 2 } } \end{pmatrix}} { }
abgebildet.
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ \geq }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {quadratfrei}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A_D
}
{ \subseteq }{ \Q[ \sqrt{D} ]
}
{ = }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der zugehörige
\definitionsverweis {reell-quadratische Zahlbereich}{}{.}
Es sei $\sqrt{D}$ einerseits ein fixierte Quadratwurzel aus $D$ in $A_D$ und andererseits die positive reelle Quadratwurzel. Die Abbildung
\maabbeledisp {} {K} { \R^2
} { (q_1+q_2 \sqrt{D}) } { \begin{pmatrix} q_1+q_2 \sqrt{D} \\ q_1-q_2 \sqrt{D} \end{pmatrix}
} {,}
ist dann die reelle Gesamteinbettung und liefert insbesondere eine explizite Realisierung von $A_D$ als Gitter im Sinne von
Satz 25.2.
Das Gitter hängt wie die Ganzheitsbasis für $A_D$ vom Rest von $D$ modulo $4$ ab, siehe
Satz 9.8.
Die
\definitionsverweis {Ganzheitsbasis}{}{}
\mathl{1, \sqrt{D}}{} bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ = }{2,3 \mod 4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bzw.
\mathl{1, { \frac{ 1+ \sqrt{D} }{ 2 } }}{} bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ = }{ 1 \mod 4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {vergleiche
Satz 9.8} {} {}
wird unter der reellen Gesamteinbettung auf die
\definitionsverweis {reelle Ganzheitsmatrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & \sqrt{ D } \\ 1 & - \sqrt{ D } \end{pmatrix}} { }
bzw.
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & { \frac{ 1 + \sqrt{ D } }{ 2 } } \\ 1 & { \frac{ 1 - \sqrt{ D } }{ 2 } } \end{pmatrix}} { }
abgebildet.
}
Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Galoiserweiterung mit einer fixierten reellen Einbettung $\rho$ ist, so sind alle Einbettungen reell, und die gesamte Gitterabbildung wird durch
\maabbeledisp {} {R} { \R^n
} {f} { ( \rho( \sigma(f)) , \sigma \in \operatorname{Gal}\, ( K {{|}} \Q ) )
} {}
realisiert.
\inputbeispiel{}
{
Die Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subset }{\Q[X]/(X^3-3X+1)
}
{ = }{K
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist eine
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{,}
wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\alpha
}
{ \in }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Nullstelle von
\mathl{X^3-3X+1}{,} so sind auch
\mathkor {} {\beta= \alpha^2 -2} {und} {\gamma=- \alpha^2 - \alpha + 2} {}
Nullstellen, siehe
Aufgabe 5.31.
Die Galoisgruppe permutiert diese Nullstellen. Der Automorphismus, der $\alpha$ auf $\alpha^2-2$ abbildet, schickt $\alpha^2$ auf
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \alpha^2-2 \right) }^2
}
{ =} { \alpha^4-4\alpha^2+4
}
{ =} { 3 \alpha^2- \alpha -4\alpha^2+4
}
{ =} { - \alpha^2- \alpha+4
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{R
}
{ =} { \Z + \Z \alpha + \Z \alpha^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
wird die gesamte Gitterabbildung durch
\maabbeledisp {} {R \cong \Z^3 } { \R^3
} { a+b \alpha+c \alpha^2 } { \begin{pmatrix} a+b \alpha+c \alpha^2 \\ a+b (\alpha^2-2)+c(- \alpha^2- \alpha+4) \\ a+b(- \alpha^2-\alpha+2) + c( \alpha+2) \end{pmatrix}
} {,}
gegeben. Die Basis $1, \alpha, \alpha^2$ wird auf die Gitterbasis
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 \\1\\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} \alpha \\ \alpha^2-2 \\ - \alpha^2- \alpha+4 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} \alpha^2 \\- \alpha^2- \alpha+4\\ \alpha+2 \end{pmatrix}} { }
abgebildet.
Wenn man $1,\alpha, \beta$ als Ganzheitsbasis nimmt, so wird die Abbildung durch
\maabbeledisp {} {R \cong \Z^3 } { \R^3
} { a+b \alpha+d \beta } { \begin{pmatrix} a+b \alpha+d \beta \\ a+b \beta +d (- \alpha- \beta) \\ a+b(-\alpha - \beta) + d \alpha \end{pmatrix}
} {,}
beschrieben. Diese Basis wird dann auf die Gitterbasis
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 \\1\\ 1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} \alpha \\ \beta \\ - \alpha- \beta \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} \beta \\- \alpha - \beta \\ \alpha \end{pmatrix}} { }
abgebildet.
}
\inputfaktbeweis
{Zahlbereich/Gitter-Einbettung/Diskriminante und Grundmasche/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
mit $r$ reellen Einbettungen und $s$ Paaren von komplexen Einbettungen. Es sei $\mathfrak M$ eine
\definitionsverweis {Grundmasche}{}{}
des
\definitionsverweis {Gitters}{}{}
$\Gamma_R$ unter der reellen Gesamteinbettung
\maabbdisp {\tau^\R} {R} { \R^r \times {\mathbb C}^s \cong \R^r \times \R^{2s}
} {.}}
\faktfolgerung {Dann ist das Volumen der Grundmasche bezüglich der euklidischen Standardmetrik des
\mathl{\R^r \times \R^{2s}}{} gleich
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \operatorname{Vol} (\mathfrak M )
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2^s } } \sqrt{ \betrag { \triangle_R } }
}
{ } {
}
{ } {}
{ } {}
}
{}
{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Wir haben die Zusammenstellung zu allen komplexen Einbettungen \maabbdisp {\tau} {R} {{\mathbb C}^{r+2s} } {} und die reelle Gittereinbettung \maabbdisp {\tau^\R} {R} { \R^r \times {\mathbb C}^s } {,} die durch die Einbettung \maabbeledisp {} { \R^r \times {\mathbb C}^s } {{\mathbb C}^{r+2s} } {(x_1 , \ldots , x_r; z_1 , \ldots , z_s) } {(x_1 , \ldots , x_r; z_1 , \overline{ z_1 } , \ldots , z_s , \overline{ z_s } ) } {} miteinander verbunden sind.
Zu einer $\Q$-Basis
\mathl{b_1 , \ldots , b_n}{} von $Q(R)$ haben wir einerseits die
\definitionsverweis {reelle Ganzheitsmatrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} \rho_1(b_1) & \rho_1(b_2) & \ldots & \ldots & \rho_1(b_n) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \rho_r (b_1) & \rho_r(b_2) & \ldots & \ldots & \rho_r(b_n) \\
\operatorname{Re} \, { \left( \sigma_1(b_1) \right) } &
\operatorname{Re} \, { \left( \sigma_1(b_2) \right) } & \ldots & \ldots &
\operatorname{Re} \, { \left( \sigma_1(b_n) \right) } \\ \operatorname{Im} \, { \left( \sigma_1(b_1) \right) } & \operatorname{Im} \, { \left( \sigma_1(b_2) \right) } & \ldots & \ldots & \operatorname{Im} \, { \left( \sigma_1(b_n) \right) } \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\
\operatorname{Re} \, { \left( \sigma_s(b_1) \right) } &
\operatorname{Re} \, { \left( \sigma_s(b_2) \right) } & \ldots & \ldots &
\operatorname{Re} \, { \left( \sigma_s(b_n) \right) } \\ \operatorname{Im} \, { \left( \sigma_s(b_1) \right) } & \operatorname{Im} \, { \left( \sigma_s(b_2) \right) } & \ldots & \ldots & \operatorname{Im} \, { \left( \sigma_s(b_n) \right) } \end{pmatrix}} { }
und andererseits die
\definitionsverweis {komplexe Ganzheitsmatrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} \rho_1(b_1) & \rho_1(b_2) & \ldots & \ldots & \rho_1(b_n) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \rho_r (b_1) & \rho_r(b_2) & \ldots & \ldots & \rho_r (b_n) \\ \sigma_1 (b_1) & \sigma_1(b_2) & \ldots & \ldots & \sigma_1(b_n) \\ \overline{ \sigma }_1(b_1) & \overline{ \sigma }_1 (b_2) & \ldots & \ldots & \overline{ \sigma }_1 (b_n) \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \sigma_s (b_1) & \sigma_s (b_2) & \ldots & \ldots & \sigma_s(b_n) \\ \overline{ \sigma }_s (b_1) & \overline{ \sigma }_s (b_2) & \ldots & \ldots & \overline{ \sigma }_s (b_n) \end{pmatrix}} { . }
Wenn man diese komplexe Matrix mit der Matrix
\zusatzklammer {diese steht links} {} {}
\mathdisp {\begin{pmatrix}
1 & & & & & & & \\ &
\ddots & & & & & & \\ & &
1 & & & & & \\ & & &
1 & 1 & & & \\ & & & - { \mathrm i} &
{ \mathrm i} & & & \\ & & & & &
1 & & \\ & & & & & &
\ddots & \\ & & & & & & &
1
\end{pmatrix}} { }
multipliziert, wobei der quadratische Block sich auf $\sigma_j$ und $\overline{ \sigma }_j$ bezieht, so erhält man in der Zeile zu $\sigma_j$ das Doppelte des Realteils von $\sigma_j$ und in der darauf folgenden Zeile das Doppelte des Imaginärteils von $\sigma_j$. Die Determinante der zuletzt notierten Matrix ist $2 { \mathrm i}$. Wenn man diese Multiplikation für jede komplexe Doppelzeile durchführt
\zusatzklammer {$s$ Multiplikationen} {} {,}
so erhält man die Matrix, die aus der reellen Ganhzeitsmatrix hervorgeht, indem man die hinteren $2s$ Zeilen jeweils mit $2$ multipliziert. Deshalb gilt insgesamt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 2^{2s} { \left( \det \left( \tau^\R_j(b_k) \right) \right) }
}
{ =} { 2^s { \mathrm i}^s { \left( \det \left( \tau_j (b_k) \right) \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {}
}
{}{}{.}
Nach
Lemma 8.9
und
Satz 24.8
ist
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \sqrt{ \betrag { \triangle(b_1 , \ldots , b_n) } }
}
{ =} { \betrag { { \left( \det \left( \tau_j(b_k) \right) \right) } }
}
{ =} { 2^{s} { \left( \det \left( \tau^\R_j(b_k) \right) \right) }
}
{ =} { 2^s \operatorname{Vol} (\mathfrak M )
}
{ } {
}
}
{}
{}{.}
\inputbeispiel{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ < }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {quadratfrei}{}{}
und $A_D$ der zugehörige
\definitionsverweis {imaginär-quadratische Zahlbereich}{}{.}
Es gibt also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Paare von zueinander komplex-konjugierten Einbettungen. Zur
\definitionsverweis {Ganzheitsbasis}{}{}
\mathl{1, \sqrt{D}}{} bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ = }{ 2,3 \mod 4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bzw.
\mathl{1, { \frac{ 1+ \sqrt{D} }{ 2 } }}{} bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ = }{ 1 \mod 4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gehört wie in
Beispiel 25.3
berechnet die
\definitionsverweis {reelle Ganzheitsmatrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \sqrt{ \betrag { D } } \end{pmatrix}} { }
bzw.
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & { \frac{ 1 }{ 2 } } \\ 0 & { \frac{ \sqrt{ \betrag { D } } }{ 2 } } \end{pmatrix}} { . }
Deren Determinante, also bis auf das Vorzeichen der Flächeninhalt der
\definitionsverweis {Grundmasche}{}{}
des Gitters, ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \sqrt{ \betrag { D } } \end{pmatrix}
}
{ =} {\sqrt{ \betrag { D } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \begin{pmatrix} 1 & { \frac{ 1 }{ 2 } } \\ 0 & { \frac{ \sqrt{ \betrag { D } } }{ 2 } } \end{pmatrix}
}
{ =} { { \frac{ \sqrt{ \betrag { D } } }{ 2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die
\definitionsverweis {Diskriminante}{}{}
ist nach
Lemma 9.9
gleich $4D$ bzw. $D$. In beiden Fällen erhält man also eine direkte Bestätigung von
Satz 25.6.
}
\inputbeispiel{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ > }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {quadratfrei}{}{}
und $A_D$ der zugehörige
\definitionsverweis {reell-quadratische Zahlbereich}{}{.}
Es gibt also zwei reelle Einbettungen und somit ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{s
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zur
\definitionsverweis {Ganzheitsbasis}{}{}
\mathl{1, \sqrt{D}}{} bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ = }{ 2,3 \mod 4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bzw.
\mathl{1, { \frac{ 1+ \sqrt{D} }{ 2 } }}{} bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ = }{ 1 \mod 4
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gehört wie in
Beispiel 25.4
berechnet die
\definitionsverweis {reelle Ganzheitsmatrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & \sqrt{ D } \\ 1 & - \sqrt{ D } \end{pmatrix}} { }
bzw.
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 & { \frac{ 1 + \sqrt{ D } }{ 2 } } \\ 1 & { \frac{ 1 - \sqrt{ D } }{ 2 } } \end{pmatrix}} { }
Deren Determinante ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \begin{pmatrix} 1 & \sqrt{ D } \\ 1 & - \sqrt{ D } \end{pmatrix}
}
{ =} {- 2 \sqrt{ D }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \det \begin{pmatrix} 1 & { \frac{ 1 + \sqrt{ D } }{ 2 } } \\ 1 & { \frac{ 1 - \sqrt{ D } }{ 2 } } \end{pmatrix}
}
{ =} { { \frac{ 1 - \sqrt{ D } }{ 2 } } - { \frac{ 1 + \sqrt{ D } }{ 2 } }
}
{ =} { - \sqrt{ D }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die
\definitionsverweis {Diskriminante}{}{}
ist nach
Lemma 9.9
gleich $4D$ bzw. $D$. In beiden Fällen erhält man also wieder eine direkte Bestätigung von
Satz 25.6.
}
{Zahlbereich/Gitter-Einbettung/Ideal/Diskriminante und Grundmasche/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Zahlbereich}{}{}
mit $r$ reellen Einbettungen und $s$ Paaren von komplexen Einbettungen. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathfrak a}
}
{ \subseteq }{ R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein von $0$ verschiedenes
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
und es sei $\mathfrak N$ eine
\definitionsverweis {Grundmasche}{}{}
des
\definitionsverweis {vollständigen Gitters}{}{}
\mathl{\tau^\R ( {\mathfrak a} )}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist das Volumen von $\mathfrak N$
\zusatzklammer {bezüglich der euklidischen Standardmetrik des
\mathl{\R^r \times \R^{2s}}{}} {} {}
gleich
\mavergleichskettealign
{\vergleichskettealign
{ \operatorname{Vol} (\mathfrak N )
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2^s } } \sqrt{ \betrag { \triangle_R } } \cdot N( {\mathfrak a} )
}
{ } {
}
{ } {}
{ } {}
}
{}
{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Das wird ähnlich wie Satz 25.6 bewiesen.