Kurs:Analysis/Teil I/38/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	${}\sum$
Punkte	3	3	4	2	2	4	5	4	4	4	3	3	4	6	4	3	6	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Hanny, Nanny, Fanny und Sanny leben auf dem Ponyhof. Heute machen sie einen Ausflug mit den Ponies Pona, Pone, Pono und Ponu. Jedes der Mädchen sitzt dabei genau auf einem Pony, und sie reiten hintereinander. Folgende Fakten sind bekannt.

1. Fanny sitzt nicht auf Pona.
2. Pone und Ponu vertragen sich nicht so gut und laufen daher nicht direkt hintereinander.
3. Nanny sitzt auf Pone oder auf Pono.
4. Sanny reitet auf Pona oder auf Pone.
5. Nanny reitet direkt hinter Sanny.
6. Auf Ponu sitzt nicht Sanny.
7. Pona läuft direkt zwischen Pone und Pono.
8. Auf Pono sitzt weder Fanny noch Hanny.
9. Sanny reitet weiter vorne als Hanny.

Wer sitzt auf welchem Pony und in welcher Reihenfolge laufen sie?

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}L,M,N$ Mengen und ${}f\colon L\rightarrow M$ und ${}g\colon M\rightarrow N$ Abbildungen. Zeige, dass für jede Teilmenge ${}U\subseteq N$ die Beziehung

${}f^{-1}{\left(g^{-1}(U)\right)}={\left(g\circ f\right)}^{-1}(U)\,$

gilt.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Zwei Fahrradfahrer, ${}A$ und ${}B$, fahren auf ihren Fahrrädern eine Straße entlang. Fahrer ${}A$ macht pro Minute ${}40$ Pedalumdrehungen, hat eine Übersetzung von Pedal zu Hinterrad von ${}1$ zu ${}6$ und Reifen mit einem Radius von ${}39$ Zentimetern. Fahrer ${}B$ braucht für eine Pedaldrehung ${}2$ Sekunden, hat eine Übersetzung von ${}1$ zu ${}7$ und Reifen mit einem Radius von ${}45$ Zentimetern.

Wer fährt schneller?

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass ${}{\sqrt {2}}$ eine irrationale Zahl ist.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise die allgemeine binomische Formel.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Finde alle Lösungen ${}(a,b,c)\in K^{3}$, die das Gleichungssystem

${}a\cdot b=c\,,$

${}b\cdot c=a\,,$

${}a\cdot c=b\,,$

erfüllen.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Zu jeder natürlichen Zahl ${}k$ sei eine Nullfolge ${}y_{k}$ gegeben, das ${}n$-te Folgenglied der ${}k$-ten Folge sei mit ${}y_{kn}$ bezeichnet. Ist die Folge ${}z_{n}$, deren ${}n$-tes Folgenglied durch

${}z_{n}=\prod _{k=1}^{n}y_{kn}\,$

gegeben ist, ebenfalls eine Nullfolge?

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Anzahl von Nullstellen eines Polynoms über einem Körper ${}K$.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme, ob die Reihe

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n^{2}}{e^{n}}}$

konvergiert.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine konvergente Folge in ${}\mathbb {R}$. Wir betrachten die Funktionenfolge

$f_{n}\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,t\longmapsto tx_{n}.$

Zeige, dass diese Funktionenfolge punktweise, aber im Allgemeinen nicht gleichmäßig konvergiert. Was ist die Grenzfunktion?

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Mittelwertsatz der Differentialrechnung.

Aufgabe * (6 (2+1+2+1) Punkte)Referenznummer erstellen

1. Zeige, dass ${}x^{2}+x+1$ stets positiv ist.
2. Bestimme die Ableitung von ${}\ln \left(x^{2}+x+1\right)$.
3. Bestimme das Monotonieverhalten und die Extrema von ${}\ln \left(x^{2}+x+1\right)$.
4. Bestimme das Intervall, auf dem ${}\ln \left(x^{2}+x+1\right)$ negativ ist.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}I,J\subseteq \mathbb {R}$ reelle Intervalle und

$f\colon I\longrightarrow J$

eine bijektive wachsende konvexe Funktion. Zeige, dass die Umkehrfunktion

$f^{-1}\colon J\longrightarrow I$

konkav ist.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne das bestimmte Integral

$\int _{2}^{5}{\frac {x}{x+1}}\,dx$

Aufgabe * (6 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über das Lösungsverfahren für Differentialgleichungen mit getrennten Variablen.