Kurs:Analysis/Teil II/1/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	${}\sum$
Punkte	3	3	2	5	1	9	3	5	2	9	3	9	4	2	4	64

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Entscheide, ob das uneigentliche Integral

\int _{1}^{\infty }{\frac {x^{2}-3x+5}{x^{4}+2x^{3}+5x+8}}\,dx

existiert.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine offene zusammenhängende Teilmenge. Zeige, dass ${}U$ auch wegzusammenhängend ist.

Aufgabe * (1 Punkt)Referenznummer erstellen

Die folgende Tabelle zeigt die Gastgeberländer und die Weltmeister der Fußballweltmeisterschaften von 1978 bis 2014, aus mathematischen Gründen ohne 1998.

Jahr	Gastgeber	Weltmeister
${}1978$	${}{\text{Argentinien}}$	${}{\text{Argentinien}}$
${}1982$	${}{\text{Spanien}}$	${}{\text{Italien}}$
${}1986$	${}{\text{Mexiko}}$	${}{\text{Argentinien}}$
${}1990$	${}{\text{Italien}}$	${}{\text{Deutschland}}$
${}1994$	${}{\text{USA}}$	${}{\text{Brasilien}}$
${}2002$	${}{\text{Japan und Korea}}$	${}{\text{Brasilien}}$
${}2006$	${}{\text{Deutschland}}$	${}{\text{Italien}}$
${}2010$	${}{\text{Südafrika}}$	${}{\text{Spanien}}$
${}2014$	${}{\text{Brasilien}}$	${}{\text{Deutschland}}$

Es sei ${}L=\{A,B,D,I,JuK,M,S,SA,U\}$ die Menge der Gastgeberländer und

\varphi \colon L\longrightarrow L

die Abbildung, die dem Gastgeberland den Weltmeister zuordnet. Gibt es auf ${}L$ eine Metrik derart, dass ${}L$ zu einem vollständigen metrischen Raum wird und dass ${}\varphi$ eine starke Kontraktion ist?

Aufgabe * (9 (4+5) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine nichtleere Teilmenge, ${}n\geq 1$ .

a) ${}T$ sei nicht beschränkt. Zeige, dass es eine stetige Funktion

f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}

gibt, deren Bild nicht beschränkt ist.

b) ${}T$ sei nicht abgeschlossen. Zeige, dass es eine stetige Funktion

f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}

gibt, deren Bild nicht beschränkt ist.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Länge der durch

f\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,t\longmapsto (\cos t,\sin t,t),

gegebenen Schraubenlinie für ${}t$ zwischen ${}0$ und ${}b$ , wobei ${}b\in \mathbb {R} _{\geq 0}$ .

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten das lineare Differentialgleichungssystem

{}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&-2\\0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}\,.

Es sei

v\colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{3}

eine Lösung dieser Differentialgleichung. Zeige, dass die beiden Funktionen ${}f(x,y,z)=z$ und ${}g(x,y,z)=4xz+y^{2}$ auf (dem Bild) der Lösung konstant sind.

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}V$ ein euklidischer Vektorraum, ${}u\in V$ ein fixierter Vektor und

F\colon \mathbb {R} \times V\longrightarrow V

ein stetiges Vektorfeld mit der Eigenschaft

{}F(t,v)=F(t,v+u)\,

für alle ${}v\in V$ . Es sei

\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow V

eine Lösung zur Differentialgleichung

{}v'=F(t,v)\,.

Zeige, dass auch

{}\psi (t):=\varphi (t)+u\,

eine Lösung dieser Differentialgleichung ist.

Aufgabe * (9 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise die Kettenregel für total differenzierbare Abbildungen ${}\varphi :V\rightarrow W$ und ${}\psi :W\rightarrow U$ , wobei ${}V,W,U$ endlichdimensionale ${}{\mathbb {K} }$ - Vektorräume sind.

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Bestimme die Jacobi-Matrix der Abbildung

f\colon \mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,(x,y)\longmapsto \left({\frac {\sin x}{x^{2}+y^{4}}},\,{\frac {x^{2}y}{x^{2}+y^{2}}},\,\ln(x^{2}+y^{2})\right),

in jedem Punkt.

Aufgabe * (9 (4+5) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

f\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ,\,(x,y)\longmapsto f(x,y)=x^{2}+3xy-y^{3}.

Bestimme die kritischen Punkte und Extrema von ${}f$ .
Bestimme für jeden kritischen Punkt ${}P$ von ${}f$ und jede Gerade durch ${}P$ , ob ${}f$ längs dieser Geraden in ${}P$ lokale Extrema besitzt.