Kurs:Analysis/Teil II/11/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	${}\sum$
Punkte	3	3	4	5	4	4	5	4	5	9	12	5	0	63

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die offene Kugel mit Mittelpunkt ${}x\in M$ und Radius ${}r\in \mathbb {R} _{+}$ in einem metrischen Raum ${}M$.
2. Der Grenzwert einer Abbildung

   $f\colon T\longrightarrow L$

   in ${}a\in M$, wobei ${}L,M$ metrische Räume sind, ${}T\subseteq M$ eine Teilmenge und ${}a\in M$ ein Berührpunkt von ${}T$ ist.

3. Ein Zentralfeld

   $F\colon \mathbb {R} \times V\longrightarrow V$

   auf einem reellen endlichdimensionalen Vektorraum ${}V$.

4. Die Hesse-Matrix zu einer zweimal stetig differenzierbaren Funktion

   $f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

   in einem Punkt ${}P\in \mathbb {R} ^{n}$.

5. Den Tangentialraum an die Faser einer stetig differenzierbare Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   zwischen endlichdimensionalen ${}{\mathbb {K} }$- Vektorräumen durch einen Punkt ${}P\in V$, in dem das totale Differential surjektiv ist.

6. Die Eigenschaft eines Vektorfeldes

   $f\colon I\times \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n},$

   lokal einer Lipschitz-Bedingung zu genügen.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über zusammenhängende Teilmengen unter einer stetigen Abbildung.
2. Der Satz über eine Differentialgleichung höherer Ordnung und das zugehörige System erster Ordnung.
3. Der Satz über die Differentialgleichung zu einem Gradientenfeld.

Aufgabe * (4 (1+1+1+1) Punkte)

Es seien ${}P=\left({\frac {3}{4}},\,-1\right)$ und ${}Q=\left(2,\,{\frac {1}{5}}\right)$ zwei Punkte im ${}\mathbb {R} ^{2}$. Bestimme den Abstand zwischen diesen beiden Punkten in

a) der euklidischen Metrik,

b) der Summenmetrik,

c) der Maximumsmetrik.

d) Vergleiche diese verschiedenen Abstände der Größe nach.

Aufgabe * (5 Punkte)

Beweise den Satz über die Charakterisierung von stetigen Abbildungen mit offenen Mengen.

Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)

Es sei ${}M$ eine Menge und

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow M$

eine Abbildung.

a) Zeige, dass ${}\varphi$ injektiv ist, wenn die Einschränkung ${}\varphi {|}_{G}$ auf jede (affine) Gerade ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ injektiv ist.

b) Zeige durch ein Beispiel, dass ${}\varphi$ nicht injektiv sein muss, wenn die Einschränkung ${}\varphi {|}_{G}$ auf jede Gerade ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ durch den Nullpunkt injektiv ist.

Aufgabe * (4 Punkte)

Man gebe ein Beispiel einer bijektiven Abbildung

$\varphi \colon [0,1]\longrightarrow [0,1]\subseteq \mathbb {R} ,$

die nicht rektifizierbar ist.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei

${}v'=Mv\,$

ein lineares Differentialgleichungssystem auf ${}I\times \mathbb {R} ^{n}$ (${}I$ ein reelles Intervall) mit einer Funktionenmatrix

${}M(t)=(a_{ij}(t))_{1\leq i,j\leq n}\,,$

wobei das zugrunde liegende Vektorfeld zugleich ein Zentralfeld sei. Zeige, dass die Matrix die Gestalt

${}M(t)=\varphi (t){\begin{pmatrix}1&0&\cdots &\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&1&0\\0&\cdots &\cdots &0&1\end{pmatrix}}\,$

mit einer geeigneten Funktion

$\varphi \colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

besitzt.

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$\mathbb {R} ^{6}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,\left(x_{1},\,y_{1},\,x_{2},\,y_{2},\,x_{2},\,y_{2}\right)\longmapsto \left({\left(x_{1}-x_{2}\right)}^{2}+{\left(y_{1}-y_{2}\right)}^{2},\,{\left(x_{1}-x_{3}\right)}^{2}+{\left(y_{1}-y_{3}\right)}^{2},\,{\left(x_{2}-x_{3}\right)}^{2}+{\left(y_{2}-y_{3}\right)}^{2}\right),$

die einem Dreieck die Längenquadrate seiner Seiten zuordnet. Bestimme die regulären Punkte der Abbildung.

Aufgabe (5 (1+1+3) Punkte)

Es sei

${}U_{1}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x>y\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{2}\,$

und

${}U_{2}={\left\{(u,v)\in \mathbb {R} ^{2}\mid u^{2}>4v\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{2}\,.$

a) Skizziere ${}U_{1}$ und ${}U_{2}$.

b) Zeige, dass ${}U_{1}$ und ${}U_{2}$ offen sind.

c) Zeige, dass die Abbildung

$\varphi \colon U_{1}\longrightarrow U_{2},\,(x,y)\longmapsto (x+y,xy),$

ein Diffeomorphismus ist.

Aufgabe * (9 (2+3+3+1) Punkte)

Es sei

${}b\geq 1\geq a>0\,$

fixiert und sei

${}M={\left\{f:[a,b]\rightarrow [a,b]\mid f{\text{ stetig}}\right\}}\,.$

a) Zeige, dass die Abbildung

$H\colon M\longrightarrow M,\,f\longmapsto H(f)={\sqrt {f}},$

wohldefiniert ist.

b) Es sei nun zusätzlich ${}a>{\frac {1}{4}}$. Zeige, dass die Abbildung ${}H$ aus a) eine starke Kontraktion ist (wobei ${}M$ mit der Maximumsnorm versehen sei).

c) Zeige, dass ${}M$ durch die Maximumsnorm ein vollständiger metrischer Raum wird.

d) Bestimme den Fixpunkt von ${}H$.

Aufgabe * (12 Punkte)

Beweise den Satz von Picard-Lindelöf.

Aufgabe * (5 Punkte)

Es sei

$h\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion und

${}G(P)=\operatorname {Grad} \,h(P)\,$

das zugehörige Gradientenfeld. Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine stetig differenzierbare Lösung zur zugehörigen Differentialgleichung, die eine Faser ${}F$ zu ${}h$ zu zwei verschiedenen Zeitpunkten ${}t_{0}<t_{1}$ trifft. Zeige, dass ${}\varphi {|}_{[t_{0},t_{1}]}$ konstant ist.

Aufgabe (0 Punkte)