Kurs:Analysis/Teil II/11/Klausur/kontrolle

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	${}\sum$
Punkte	3	3	4	5	4	4	5	4	5	9	12	5	0	63

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Aufgabe * (4 (1+1+1+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Es seien ${}P=\left({\frac {3}{4}},\,-1\right)$ und ${}Q=\left(2,\,{\frac {1}{5}}\right)$ zwei Punkte im ${}\mathbb {R} ^{2}$. Bestimme den Abstand zwischen diesen beiden Punkten in

a) der euklidischen Metrik,

b) der Summenmetrik,

c) der Maximumsmetrik.

d) Vergleiche diese verschiedenen Abstände der Größe nach.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz über die Charakterisierung von stetigen Abbildungen mit offenen Mengen.

Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei ${}M$ eine Menge und

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow M$

eine Abbildung.

a) Zeige, dass ${}\varphi$ injektiv ist, wenn die Einschränkung ${}\varphi {|}_{G}$ auf jede (affine) Gerade ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ injektiv ist.

b) Zeige durch ein Beispiel, dass ${}\varphi$ nicht injektiv sein muss, wenn die Einschränkung ${}\varphi {|}_{G}$ auf jede Gerade ${}G\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ durch den Nullpunkt injektiv ist.

Aufgabe * (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Man gebe ein Beispiel einer bijektiven Abbildung

$\varphi \colon [0,1]\longrightarrow [0,1]\subseteq \mathbb {R} ,$

die nicht rektifizierbar ist.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

${}v'=Mv\,$

ein lineares Differentialgleichungssystem auf ${}I\times \mathbb {R} ^{n}$ (${}I$ ein reelles Intervall) mit einer Funktionenmatrix

${}M(t)=(a_{ij}(t))_{1\leq i,j\leq n}\,,$

wobei das zugrunde liegende Vektorfeld zugleich ein Zentralfeld sei. Zeige, dass die Matrix die Gestalt

${}M(t)=\varphi (t){\begin{pmatrix}1&0&\cdots &\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&1&0\\0&\cdots &\cdots &0&1\end{pmatrix}}\,$

mit einer geeigneten Funktion

$\varphi \colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

besitzt.

Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Abbildung

$\mathbb {R} ^{6}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3},\,\left(x_{1},\,y_{1},\,x_{2},\,y_{2},\,x_{2},\,y_{2}\right)\longmapsto \left({\left(x_{1}-x_{2}\right)}^{2}+{\left(y_{1}-y_{2}\right)}^{2},\,{\left(x_{1}-x_{3}\right)}^{2}+{\left(y_{1}-y_{3}\right)}^{2},\,{\left(x_{2}-x_{3}\right)}^{2}+{\left(y_{2}-y_{3}\right)}^{2}\right),$

die einem Dreieck die Längenquadrate seiner Seiten zuordnet. Bestimme die regulären Punkte der Abbildung.

Aufgabe (5 (1+1+3) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

${}U_{1}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x>y\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{2}\,$

und

${}U_{2}={\left\{(u,v)\in \mathbb {R} ^{2}\mid u^{2}>4v\right\}}\subseteq \mathbb {R} ^{2}\,.$

a) Skizziere ${}U_{1}$ und ${}U_{2}$.

b) Zeige, dass ${}U_{1}$ und ${}U_{2}$ offen sind.

c) Zeige, dass die Abbildung

$\varphi \colon U_{1}\longrightarrow U_{2},\,(x,y)\longmapsto (x+y,xy),$

ein Diffeomorphismus ist.

Aufgabe * (9 (2+3+3+1) Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

${}b\geq 1\geq a>0\,$

fixiert und sei

${}M={\left\{f:[a,b]\rightarrow [a,b]\mid f{\text{ stetig}}\right\}}\,.$

a) Zeige, dass die Abbildung

$H\colon M\longrightarrow M,\,f\longmapsto H(f)={\sqrt {f}},$

wohldefiniert ist.

b) Es sei nun zusätzlich ${}a>{\frac {1}{4}}$. Zeige, dass die Abbildung ${}H$ aus a) eine starke Kontraktion ist (wobei ${}M$ mit der Maximumsnorm versehen sei).

c) Zeige, dass ${}M$ durch die Maximumsnorm ein vollständiger metrischer Raum wird.

d) Bestimme den Fixpunkt von ${}H$.

Aufgabe * (12 Punkte)Referenznummer erstellen

Beweise den Satz von Picard-Lindelöf.

Aufgabe * (5 Punkte)Referenznummer erstellen

Es sei

$h\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine stetig differenzierbare Funktion und

${}G(P)=\operatorname {Grad} \,h(P)\,$

das zugehörige Gradientenfeld. Es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ^{n}$

eine stetig differenzierbare Lösung zur zugehörigen Differentialgleichung, die eine Faser ${}F$ zu ${}h$ zu zwei verschiedenen Zeitpunkten ${}t_{0}<t_{1}$ trifft. Zeige, dass ${}\varphi {|}_{[t_{0},t_{1}]}$ konstant ist.

Aufgabe (0 Punkte)Referenznummer erstellen