Kurs:Analysis/Teil II/24/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | |
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Punkte | 3 | 3 | 6 | 4 | 7 | 2 | 4 | 2 | 6 | 6 | 3 | 3 | 12 | 3 | 64 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Die Vollständigkeit eines metrischen Raumes .
- Die
Länge
eines Streckenzugs
mit .
- Ein Anfangswertproblem in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum .
- Die
Jacobi-Matrix
zu einer partiell differenzierbaren Abbildung
in einem Punkt .
- Die positive Definitheit einer symmetrischen Bilinearform auf einem reellen Vektorraum .
- Ein -Diffeomorphismus zwischen den offenen Mengen und in euklidischen Vektorräumen .
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Der Satz über die Kompaktheit unter stetigen Abbildungen.
- Die
Formel für die Länge
einer Kurve
- Der Satz von Picard-Lindelöf.
Aufgabe * (6 Punkte)
Beweise das Vergleichskriterium für Reihen und uneigentliche Integrale.
Aufgabe * (4 (1+1+2) Punkte)
- Beschreibe eine Parametrisierung des einfach mit dem Uhrzeigersinn durchlaufenen Einheitskreises mit konstanter Geschwindigkeit .
- Beschreibe eine Parametrisierung des einfach mit dem Uhrzeigersinn durchlaufenen Einheitskreises mit konstanter Geschwindigkeit, die insgesamt eine Zeiteinheit braucht.
- Berechne mit der Paramterisierung aus die Länge des Kreisbogens.
Aufgabe * (7 (1+1+2+3) Punkte)
Es sei ein quadratischer Billardtisch ohne Löcher mit einer Seitenlänge von einem Meter gegeben, darauf bewegt sich eine punktförmige Kugel ohne Bremswirkung nach dem Reflexionsprinzip „Einfallswinkel ist gleich Ausfallswinkel“.
- Beschreibe durch eine Skizze (inklusive Winkel oder Punktkoordinaten) eine periodische Bewegung, bei der zwei Randpunkte getroffen werden.
- Beschreibe durch eine Skizze (inklusive Winkel oder Punktkoordinaten) eine periodische Bewegung, bei der vier Randpunkte getroffen werden.
- Beschreibe durch eine Skizze (inklusive Winkel oder Punktkoordinaten) eine periodische Bewegung, bei der acht Randpunkte getroffen werden.
- Zeige, dass es keine periodische Bewegung gibt, bei der drei Randpunkte getroffen werden.
Aufgabe * (2 Punkte)
Es sei ein Vektorfeld der Form
mit einer stetigen Funktion
gegeben. Die Richtungsvektoren stehen also stets senkrecht zu den Ortsvektoren. Es sei und es sei
eine Lösung zur eindimensionalen Differentialgleichung
Zeige, dass
eine Lösung der Differentialgleichung
ist.
Aufgabe * (4 (2+2) Punkte)
Beschreibe für das zeitunabhängige Differentialgleichungssystem
die allgemeine Lösung mit
- Exponentialfunktionen,
- Hyperbelfunktionen.
Aufgabe * (2 Punkte)
Bestimme die Gramsche Matrix zur Determinante auf dem bezüglich der Standardbasis.
Aufgabe * (6 (3+3) Punkte)
Prof. Knopfloch, Dr. Eisenbeis und Vorli machen Urlaub in den Bergen. Das Gebirge wird in einer geeigneten Umgebung durch die Funktion (alles in Meter)
beschrieben.
- In welchem Punkt (welchen Punkten) besitzt das Gebirge einen Gipfel? Wie hoch ist es in den Gipfeln?
- Vorli hat Höhenangst und möchte nicht auf den Gipfel. Deshalb wählen sie einen Rundgang, der zum Punkt konstant den Grundabstand besitzt. Bestimme die größte und die niedrigste Höhe, die die drei auf ihrer Wanderung erreichen.
Aufgabe * (6 Punkte)
Es sei ein Polynom in zwei Variablen der Bauart
Zeige ohne Differentialrechnung, dass im Nullpunkt ein isoliertes lokales Minimum besitzt. Bestimme in Abhängigkeit der Koeffizienten ein derart, dass die Einschränkung von auf außerhalb des Nullpunktes echt positiv ist.
Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)
Wir betrachten die Abbildung
- Bestimme die Jacobi-Matrix zu .
- Bestimme die kritischen Punkte von .
- Zeige, dass es zu jedem ein eindeutiges derart gibt, dass ein kritischer Punkt ist.
Aufgabe * (3 Punkte)
Aufgabe * (12 Punkte)
Beweise den Satz über implizite Abbildungen.
Aufgabe * (3 Punkte)