Kurs:Analysis (Osnabrück 2013-2015)/Teil I/Arbeitsblatt 20/kontrolle
- Übungsaufgaben
Es seien
konvexe Funktionen. Zeige durch Beispiele, dass die Differenz konvex oder konkav sein kann, aber weder konvex noch konkav sein muss.
Es seien
konvexe Funktionen. Zeige durch Beispiele, dass das Produkt konvex oder konkav sein kann, aber weder konvex noch konkav sein muss.
Es sei
eine stetige Funktion auf einem Intervall . Zeige, dass genau dann konvex ist, wenn für jedes Punktepaar und mit die Verbindungsstrecke oberhalb des Graphen von verläuft.
(Bemerkung: Eine konvexe Funktion auf einem offenen Intervall ist übrigens immer stetig.)
Es sei ein Intervall und
eine zweimal differenzierbare Funktion. Zeige, dass genau dann eine konvexe Funktion ist, wenn für die zweite Ableitung für alle gilt.
Es sei ein Polynom mit ungeradem Grad . Zeige, dass weder konvex noch konkav sein kann.
Es sei eine Potenzreihe mit Konvergenzradius . Zeige, dass der Konvergenzradius der Reihe ebenfalls ist.
Eine Währungsgemeinschaft habe eine Inflation von jährlich . Nach welchem Zeitraum (in Jahren und Tagen) haben sich die Preise verdoppelt?
Berechne bis auf drei Nachkommastellen den Wert von .
Bestimme die Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion über ihre Potenzreihen (Satz 20.9).
Bestimme die Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion unter Verwendung von Satz 15.10 (4).
Bestimme die -te Ableitung der Sinusfunktion.
Wir betrachten die Funktion
a) Bestimme die Ableitung .
b) Bestimme die zweite Ableitung .
Zeige die folgenden Eigenschaften von Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus (dabei ist .)
Bestimme die Ableitungen von Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus.
- Aufgaben zum Abgeben
Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen
Bestimme das Konvexitätsverhalten und die Wendepunkte der Funktion
Aufgabe (4 Punkte)Referenznummer erstellen
Es sei
eine ungerade Funktion, die nicht linear sei. Zeige, dass weder konvex noch konkav sein kann.
Aufgabe (1 Punkt)Referenznummer erstellen
Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen
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