Kurs:Analysis 3/8/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	${}\sum$
Punkte	3	3	0	0	5	0	5	3	3	9	6	0	5	7	0	0	49

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Zwei homöomorphe topologische Räume ${}X$ und ${}Y$.
2. Das Gitter und das Gittermaß zum Gitterpunktabstand ${}\epsilon >0$ auf dem ${}\mathbb {R} ^{n}$.
3. Das erzeugte Parallelotop zu linear unabhängigen Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ in einem reellen Vektorraum ${}V$.
4. Der Tangentialraum in einem Punkt ${}P\in M$ einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$.
5. Orientierungsgleiche Basen auf einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ${}V$.
6. Die äußere Ableitung zu einer stetig differenzierbaren Differentialform ${}\omega \in {\mathcal {E}}^{k}(M)$ auf einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit ${}M$.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Produktsatz für Maße.
2. /Fakt/Name
3. /Fakt/Name

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (5 Punkte)

Es sei ${}T\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ eine messbare Teilmenge und es sei

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{n-1}$

eine surjektive lineare Abbildung derart, dass für alle ${}x\in \mathbb {R} ^{n-1}$ die Menge ${}T\cap \varphi ^{-1}(x)$ abzählbar sei. Zeige

${}\lambda ^{n}(T)=0\,.$

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (5 (2+2+1) Punkte)

Die Grundfläche eines Kochtopfes sei eine Kreisscheibe mit Radius ${}13$ cm, der Topf sei ${}10$ cm hoch und auf die Höhe von ${}7{,}7$ cm mit Wasser gefüllt. Eine Kartoffel wird in den Topf geworfen und taucht voll unter, wobei das Wasser auf eine Höhe von ${}8{,}8$ cm ansteigt.

a) Berechne das Volumen der Kartoffel (rechne mit ${}\pi =3{,}14$; Einheit nicht vergessen)!

b) Welche maßtheoretischen Gesetzmäßigkeiten wurden bei der Berechnung von a) verwendet?

c) Handelt es sich um eine große oder um eine kleine Kartoffel?

Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei

$f\colon \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R}$

eine integrierbare Funktion. Zeige, dass es zu jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}r\in \mathbb {R} _{+}$ derart gibt, dass

${}\int _{\mathbb {R} ^{n}\setminus B\left(0,r\right)}fd\lambda ^{n}\leq \epsilon \,$

ist

Aufgabe * (3 Punkte)

Zeige, dass die drei eindimensionalen Mannigfaltigkeiten

$S^{1}={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid \vert {(x,y)}\vert =1\right\}},\,\,\mathbb {R} \,{\text{ und }}\,\mathbb {R} \setminus \{0\}$

paarweise nicht homöomorph sind.

Aufgabe * (9 Punkte)

Es sei ${}M\neq \emptyset$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension ${}n$. Zeige, dass es eine Kette von abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten

${}M_{0}\subseteq M_{1}\subseteq M_{2}\subseteq \ldots \subseteq M_{n-1}\subseteq M_{n}=M\,$

derart gibt, dass die abgeschlossene Untermannigfaltigkeit ${}M_{i}$ die Dimension ${}i$ besitzt.

Aufgabe * (6 Punkte)

Zeige, dass die Menge

${}M={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid x^{2}+y^{4}+z^{6}=1\right\}}\,$

eine zweidimensionale kompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (5 Punkte)

Wir betrachten die Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},\,(x,y,z)\longmapsto (xyz^{2},xy-z^{3}).$

Berechne die Matrix der Abbildung

$\bigwedge ^{2}T_{P}(\varphi )\colon \bigwedge ^{2}T_{P}\mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \bigwedge ^{2}T_{\varphi (P)}\mathbb {R} ^{2}$

im Punkt ${}P=(1,3,5)$ bezüglich einer geeigneten Basis.

Aufgabe * (7 Punkte)

Es sei ${}M$ eine ${}n$-dimensionale differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}P\in M$ ein Punkt. Zeige, dass es eine Mannigfaltigkeit mit Rand ${}N$ gibt, deren Rand ${}\partial N$ diffeomorph zur ${}(n-1)$-dimensionalen Sphäre ${}S^{n-1}$ ist und derart, dass ${}M\setminus \{P\}$ und ${}N\setminus \partial N$ zueinander diffeomorph sind.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)