Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 10

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Aufgabe

Zeige, dass in einem irreduziblen topologischen Raum jede nichtleere offene Teilmenge dicht ist.


Aufgabe

Zeige, dass ein metrischer Raum nur dann irreduzibel ist, wenn er einpunktig ist.


Aufgabe

Es sei ein topologischer Raum und eine Teilmenge mit der induzierten Topologie. Zeige, dass genau dann irreduzibel ist, wenn der Abschluss irreduzibel ist.


Man sagt, dass ein topologischer Raum die Trennungseigenschaft erfüllt, wenn es zu je zwei Punkten eine offene Menge mit und oder eine offene Menge mit und gibt.


Man sagt, dass ein topologischer Raum die Trennungseigenschaft erfüllt, wenn jeder Punkt abgeschlossen ist.


Aufgabe

Zeige, dass ein Schema die Trennungseigenschaft erfüllt.


Aufgabe

Zeige, dass für ein affines Schema folgende Eigenschaften äquivalent sind.

  1. In ist jedes Primideal maximal.
  2. In ist jeder Punkt abgeschlossen.
  3. ist ein Hausdorffraum.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel für ein nulldimensionales affines Schema , das nicht diskret ist.


Aufgabe

Es sei eine irreduzible Teilmenge in einem topologischen Raum und ein Punkt. Zeige, dass genau dann ein generischer Punkt von ist, wenn ist.


Aufgabe

Es sei das Spektrum zu einem kommutativen Ring und die abgeschlossene Teilmenge zu einem Primideal . Zeige, dass der generische Punkt von ist.


Aufgabe *

Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension . Zeige, dass es eine Kette von abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten

derart gibt, dass die abgeschlossene Untermannigfaltigkeit die Dimension besitzt.


Aufgabe

Es sei ein noetherscher topologischer Raum. Zeige, dass dann auch jede Teilmenge mit der induzierten Topologie wieder noethersch ist.


Aufgabe

Es sei ein noetherscher topologischer Raum. Zeige, dass jede Teilmenge mit der induzierten Topologie quasikompakt ist.


Aufgabe

Zeige, dass die reellen Zahlen mit der metrischen Topologie kein noetherscher topologischer Raum ist.


Aufgabe *

Es sei ein kommutativer Ring und mit . Es sei ein Ideal in mit der Eigenschaft, dass die Erweiterungsideale endlich erzeugt sind. Zeige, dass endlich erzeugt ist.


Aufgabe *

Es sei ein kommutativer Ring und das zugehörige affine Schema. Zeige, dass genau dann ein noethersches Schema ist, wenn ein noetherscher Ring ist.


Aufgabe

Zeige, dass es in einem noetherschen kommutativen Ring nur endlich viele minimale Primideale gibt.


Aufgabe

Man gebe ein Beispiel eines nicht-noetherschen Ringes, dessen Reduktion ein Körper ist.


Sei ein kommutativer Ring. Ein multiplikatives System nennt man einen Ultrafilter, wenn ist und wenn maximal mit dieser Eigenschaft ist.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und sei ein Ultrafilter. Zeige, dass das Komplement von ein minimales Primideal in ist.


Aufgabe

Es sei ein beringter Raum. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

  1. ist ein reduzierter beringter Raum.
  2. Für jeden Punkt ist der Halm reduziert.


Aufgabe

Zeige, dass für ein Schema die Integrität im Allgemeinen keine lokale Eigenschaft ist.



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