Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 9

Aufgabe

Bestimme diejenigen Unterringe von ${}\mathbb {Q}$, die als Schnittringe auf ${}\operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Z} \right)}$ und diejenigen Unterringe, die als Halme in ${}\operatorname {Spek} {\left(\mathbb {Z} \right)}$ auftreten.

Aufgabe

Es sei ${}T\subseteq {\mathbb {P} }$ eine Teilmenge der Primzahlen. Zeige, dass die Menge

$R_{T}={\left\{q\in \mathbb {Q} \mid q{\text{ lässt sich mit einem Nenner schreiben, in dem nur Primzahlen aus }}T{\text{ vorkommen}}\right\}}$

ein Unterring von ${}\mathbb {Q}$ ist. Was ergibt sich bei ${}T=\emptyset$, ${}T=\{3\}$, ${}T=\{2,5\}$, ${}T={\mathbb {P} }$?

Aufgabe

Es sei ${}R=\mathbb {Z} [{\frac {2}{3}}]$ der von ${}\mathbb {Z}$ und ${}2/3$ erzeugte Unterring von ${}\mathbb {Q}$. Zeige, dass ${}R$ alle rationalen Zahlen enthält, die sich mit einer Potenz von ${}3$ im Nenner schreiben lassen.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und sei ${}f\in R$ mit zugehöriger Nenneraufnahme ${}R_{f}$. Beweise die ${}R$- Algebraisomorphie

${}R_{f}\cong R[T]/(Tf-1)\,.$

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring und ${}f,g\in R$ Elemente. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. Es ist ${}D(f)\subseteq D(g)$ (im Spektrum von ${}R$).
2. Es ist ${}\operatorname {rad} {\left((f)\right)}\subseteq \operatorname {rad} {\left((g)\right)}$.
3. Es ist ${}f\in \operatorname {rad} {\left((g)\right)}$.
4. Es gibt ${}n\in \mathbb {N}$ mit ${}f^{n}\in (g)$
5. Das Element ${}g$ teilt eine Potenz von ${}f$.
6. Es ist ${}g$ eine Einheit in ${}R_{f}$.
7. Es gibt einen ${}R$- Algebrahomomorphismus ${}R_{g}\rightarrow R_{f}$.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein kommutativer Ring, ${}f\in R$ ein Element und ${}R_{f}$ die zugehörige Nenneraufnahme. Zeige, dass ${}f$ genau dann nilpotent ist, wenn ${}R_{f}$ der Nullring ist.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Integritätsbereich und ${}U\subseteq X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ eine offene Teilmenge. Zeige

${}\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})=\bigcap _{f\neq 0,\,D(f)\subseteq U}R_{f}\,,$

wobei der Durchschnitt im Quotientenkörper ${}Q(R)$ genommen wird.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein Hauptidealbereich mit Quotientenkörper ${}Q=Q(R)$. Zeige, dass jeder Zwischenring ${}S$, ${}R\subseteq S\subseteq Q$, eine Nenneraufnahme ist.

Aufgabe

Zeige, dass für die in Beispiel 9.6 betrachtete offene Menge ${}U=D(X+Y)$ gilt. Beschreibe die dort betrachtete Funktion mit dem Nenner ${}X+Y$.

Aufgabe

Es sei ${}R$ ein faktorieller Integritätsbereich und ${}{\mathfrak {m}}$ ein maximales Ideal der Höhe ${}\geq 2$. Zeige, dass die Restriktionsabbildung

$R=\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})\longrightarrow \Gamma (X\setminus \{{\mathfrak {m}}\},{\mathcal {O}}_{X})$

bijektiv ist.

Aufgabe

Finde zu ${}R=K[X,Y,Z]/{\left(XY-Z^{n}\right)}$ auf ${}U=D(X,Z)\subseteq \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ definierte rationale Funktionen, die man nicht mit einem optimalen Nenner schreiben kann.

Aufgabe

Es sei ${}X=\operatorname {Spek} {\left(R\right)}$ das Spektrum eines kommutativen Ringes ${}R$ und ${}f\in R=\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X})$. Zeige, dass ${}D(f)$ mit der Invertierbarkeitsort ${}X_{f}$ übereinstimmt.

Aufgabe

Es sei ${}\varphi \colon R\rightarrow S$ ein Ringhomomorphismus zwischen kommutativen Ringen. Zeige, dass man die Spektrumsabbildung

$\varphi ^{*}\colon \operatorname {Spek} {\left(S\right)}\longrightarrow \operatorname {Spek} {\left(R\right)}$

in natürlicher Weise zu einem Morphismus lokal beringter Räume machen kann.