Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 9

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Aufgabe

Bestimme diejenigen Unterringe von , die als Schnittringe auf und diejenigen Unterringe, die als Halme in auftreten.


Aufgabe

Es sei eine Teilmenge der Primzahlen. Zeige, dass die Menge

ein Unterring von ist. Was ergibt sich bei , , , ?


Aufgabe

Es sei der von und erzeugte Unterring von . Zeige, dass alle rationalen Zahlen enthält, die sich mit einer Potenz von im Nenner schreiben lassen.


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring und sei mit zugehöriger Nenneraufnahme . Beweise die -Algebraisomorphie


Aufgabe

Es sei ein kommutativer Ring und Elemente. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

  1. Es ist (im Spektrum von ).
  2. Es ist .
  3. Es ist .
  4. Es gibt mit
  5. Das Element teilt eine Potenz von .
  6. Es ist eine Einheit in .
  7. Es gibt einen -Algebrahomomorphismus .


Aufgabe

Sei ein kommutativer Ring, ein Element und die zugehörige Nenneraufnahme. Zeige, dass genau dann nilpotent ist, wenn der Nullring ist.


Aufgabe

Es sei ein Integritätsbereich und eine offene Teilmenge. Zeige

wobei der Durchschnitt im Quotientenkörper genommen wird.


Aufgabe

Sei ein Hauptidealbereich mit Quotientenkörper . Zeige, dass jeder Zwischenring , , eine Nenneraufnahme ist.


Aufgabe

Zeige, dass für die in Beispiel 9.6 betrachtete offene Menge gilt. Beschreibe die dort betrachtete Funktion mit dem Nenner .


Aufgabe

Es sei ein faktorieller Integritätsbereich und ein maximales Ideal der Höhe . Zeige, dass die Restriktionsabbildung

bijektiv ist.


Aufgabe

Finde zu auf definierte rationale Funktionen, die man nicht mit einem optimalen Nenner schreiben kann.


Aufgabe

Es sei das Spektrum eines kommutativen Ringes und . Zeige, dass mit der Invertierbarkeitsort übereinstimmt.


Aufgabe

Es sei ein Ringhomomorphismus zwischen kommutativen Ringen. Zeige, dass man die Spektrumsabbildung

in natürlicher Weise zu einem Morphismus lokal beringter Räume machen kann.



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