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Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 11

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Zeige, dass in einem irreduziblen topologischen Raum jede nichtleere offene Teilmenge dicht ist.



Zeige, dass ein metrischer Raum nur dann irreduzibel ist, wenn er einpunktig ist.



Es sei ein topologischer Raum und eine Teilmenge mit der induzierten Topologie. Zeige, dass genau dann irreduzibel ist, wenn der Abschluss irreduzibel ist.


Man sagt, dass ein topologischer Raum die Trennungseigenschaft erfüllt, wenn es zu je zwei Punkten eine offene Menge mit und oder eine offene Menge mit und gibt.


Man sagt, dass ein topologischer Raum die Trennungseigenschaft erfüllt, wenn jeder Punkt abgeschlossen ist.



Zeige, dass ein Schema die Trennungseigenschaft erfüllt.



Zeige, dass für ein affines Schema folgende Eigenschaften äquivalent sind.

  1. In ist jedes Primideal maximal.
  2. In ist jeder Punkt abgeschlossen.
  3. ist ein Hausdorffraum.



Man gebe ein Beispiel für ein nulldimensionales affines Schema , das nicht diskret ist.



Es sei eine irreduzible Teilmenge in einem topologischen Raum und ein Punkt. Zeige, dass genau dann ein generischer Punkt von ist, wenn ist.



Es sei das Spektrum zu einem kommutativen Ring und die abgeschlossene Teilmenge zu einem Primideal . Zeige, dass der generische Punkt von ist.



Es sei eine differenzierbare Mannigfaltigkeit der Dimension . Zeige, dass es eine Kette von abgeschlossenen Untermannigfaltigkeiten

derart gibt, dass die abgeschlossene Untermannigfaltigkeit die Dimension besitzt.



Es sei ein noetherscher topologischer Raum. Zeige, dass dann auch jede Teilmenge mit der induzierten Topologie wieder noethersch ist.



Es sei ein noetherscher topologischer Raum. Zeige, dass jede Teilmenge mit der induzierten Topologie quasikompakt ist.



Zeige, dass die reellen Zahlen mit der metrischen Topologie kein noetherscher topologischer Raum ist.



Es sei ein kommutativer Ring und mit . Es sei ein Ideal in mit der Eigenschaft, dass die Erweiterungsideale endlich erzeugt sind. Zeige, dass endlich erzeugt ist.



Es sei ein kommutativer Ring und das zugehörige affine Schema. Zeige, dass genau dann ein noethersches Schema ist, wenn ein noetherscher Ring ist.



Zeige, dass es in einem noetherschen kommutativen Ring nur endlich viele minimale Primideale gibt.



Man gebe ein Beispiel eines nicht-noetherschen Ringes, dessen Reduktion ein Körper ist.


Es sei ein kommutativer Ring. Ein multiplikatives System nennt man einen Ultrafilter, wenn ist und wenn maximal mit dieser Eigenschaft ist.



Es sei ein kommutativer Ring und sei ein Ultrafilter. Zeige, dass das Komplement von ein minimales Primideal in ist.



Es sei ein beringter Raum. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.

  1. ist ein reduzierter beringter Raum.
  2. Für jeden Punkt ist der Halm reduziert.



Zeige, dass für ein Schema die Integrität im Allgemeinen keine lokale Eigenschaft ist.



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