Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 30

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Aufgabe

Beweise für die projektive Gerade den Satz von Riemann-Roch direkt.


Aufgabe

Es sei ein homogenes Polynom vom Grad über einem algebraisch abgeschlossenen Körper derart, dass

eine glatte projektive Kurve ist. Es seien

homogene Elemente vom Grad derart, dass die die Kurve überdecken. Wir fassen die als Garbenhomomorphismen , , (bzw. , , für ) auf.

  1. Zeige, dass der Garbenhomomorphismus

    surjektiv ist.

  2. Es sei die Kerngarbe zum Homomorphismus aus (1). Zeige, dass diese Garbe lokal frei ist.
  3. Bestimme den Rang von .
  4. Bestimme den Grad von .


Aufgabe

Man gebe auf der projektiven Geraden Beispiele für lokal freie Garben vom Rang und vom Grad derart an, dass die Dimension der globalen Schnitte beliebig groß wird.


Aufgabe

Es sei (vergleiche Satz 19.8)

die Kotangentialgarbe auf der projektiven Ebene und sei eine projektive Gerade. Zeige


Aufgabe

Es sei (vergleiche Satz 19.8)

die Kotangentialgarbe auf der projektiven Ebene und sei eine glatte Quadrik. Zeige eine direkte Zerlegung als Summe von zwei invertierbaren Garben besitzt.

Betrachte einen Isomorphismus .

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