Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 29

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Aufgabe

Zeige, dass die folgenden Daten bzw. Konstruktionen den gleichen Morphismus

von der projektiven Geraden in sich festlegen (dabei seien linear unabhängig).

  1. Der induzierte Morphismus im Sinne von Satz 12.11 zum homogenen Ringhomomorphismus mit , .
  2. Der Morphismus zu den beiden Schnitten im Sinne von Lemma 28.1.
  3. Der Morphismus im Sinne von Lemma 29.7 zur rationalen Funktion .


Aufgabe

Zeige, dass es einen Morphismus

gibt, den man nicht auf ausdehnen kann.


Aufgabe

Es sei ein Körper und sei eine ebene projektive Kurve. Es sei ein Punkt der Kurve und sei

der durch die Projektion weg vom Punkt definierte Morphismus. Bei dieser Abbildung wird also ein Punkt , , auf die durch und gegebene Sekante abgebildet.

  1. Sei und sei eine Folge auf , die in der komplexen Topologie gegen konvergiert. Konvergiert ?
  2. Besitzt einen Häufungspunkt?
  3. Sei ein glatter Punkt. Zeige, dass es eine Fortsetzung des Morphismus auf ganz gibt.


Aufgabe

Diskutiere die Situation aus Aufgabe 29.3 für das Achsenkreuz

und den Kreuzungspunkt .


Aufgabe *

Es sei ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik und sei eine irreduzible ebene projektive Kurve vom Grad und sei

der durch eine Projektion weg von einem Punkt definierte Morphismus. Zeige, dass bis auf endlich viele Ausnahmen die Faser zu jedem Punkt aus genau Punkten besteht.


Aufgabe

Sei ein algebraisch abgeschlossener Körper und eine glatte Kurve vom Grad . Zeige, dass es einen Morphismus derart gibt, dass jede Faser aus maximal Punkten besteht.


Aufgabe

Es sei die Fermat-Kubik über einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik . Beschreibe explizit einen Morphismus , bei dem über jedem Punkt maximal zwei Punkte liegen.


Aufgabe

Es sei eine irreduzible glatte projektive Kurve mit Funktionenkörper und mit zugehörigem Morphismus

Sei . Zeige, dass es einen Automorphismus

derart gibt, dass das Diagramm

kommutiert.


Aufgabe

Es sei eine irreduzible glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und sei ein nichtkonstantes Element im Funktionenkörper mit dem zugehörigen Morphismus

Zeige, dass zu jedem Punkt die zurückgezogenen Divisoren untereinander linear äquivalent sind.

Verwende Aufgabe 29.8.

Aufgabe

Es sei die projektive Gerade mit Funktionenkörper , . Beschreibe den zugehörigen Schemamorphismus

für . Was ist das Urbild des Nullpunktes, was ist das Urbild des unendlich fernen Punktes, wie sehen die Verzweigungsordnungen aus?


Aufgabe

Es sei die projektive Gerade mit Funktionenkörper , , und sei ein Polynom vom Grad . Beschreibe die Verzweigungsordnung in für den zugehörigen Schemamorphismus


Aufgabe *

Es seien und projektive Geraden mit den Funktionenkörpern , bzw. , über einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik . Wir betrachten auf der zweiten projektiven Geraden das durch gegebene lineare System mit der zugehörigen Abbildung

  1. Handelt es sich um ein volles lineares System?
  2. Bestimme die Urbilder zu und und beschreibe die induzierten Abbildungen zwischen den affinen offenen Teilmengen.
  3. Handelt es sich um ein basispunktfreies lineares System?
  4. Beschreibe die zugehörige Körpererweiterung

    der Funktionenkörper. Welchen Grad besitzt sie?

  5. Bestimme für jeden Punkt das Urbild unter sowie die jeweilige Verzweigungsordnung.
  6. Beschreibe den zurückgezogenen Divisor .


Aufgabe

Es sei ein normales noethersches integres Schema über einem Körper und sei ein Element des Funktionenkörpers von . Zeige, dass auf einer offenen Menge einen Morphismus

definiert, wobei die Kodimension von zumindest ist.


Aufgabe

Es sei eine invertierbare Garbe von negativem Grad auf einer irreduziblen glatten projektiven Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper. Zeige


Aufgabe

Zeige, dass für eine glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Grad von invertierbaren Garben ein surjektiver Gruppenhomomorphismus

ist.



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