Kurs:Bündel, Garben und Kohomologie (Osnabrück 2019-2020)/Arbeitsblatt 29

Aufgabe

Zeige, dass die folgenden Daten bzw. Konstruktionen den gleichen Morphismus

{\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}

von der projektiven Geraden in sich festlegen (dabei seien ${}(a,b),(c,d)\in K^{2}$ linear unabhängig).

Der induzierte Morphismus im Sinne von Satz 12.11 zum homogenen Ringhomomorphismus ${}K[X,Y]\rightarrow K[S,T]$ mit ${}X\mapsto aS+bT$ , ${}Y\mapsto cS+dT$ .
Der Morphismus zu den beiden Schnitten ${}as+bt,cs+dt\in \Gamma {\left({\mathbb {P} }_{K}^{1},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}(1)\right)}$ im Sinne von Lemma 28.1.
Der Morphismus im Sinne von Lemma 29.7 zur rationalen Funktion ${}{\frac {as+bt}{cs+dt}}\in K{\left({\frac {s}{t}}\right)}$ .

Aufgabe

Zeige, dass es einen Morphismus

V(X^{2}-Y^{3})\supseteq U=V(X^{2}-Y^{3})\setminus \{(0,0)\}\longrightarrow {\mathbb {A} }_{}^{1}

gibt, den man nicht auf ${}V(X^{2}-Y^{3})$ ausdehnen kann.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}C\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ eine ebene projektive Kurve. Es sei ${}P\in C$ ein Punkt der Kurve und sei

\varphi \colon C\setminus \{P\}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}

der durch die Projektion weg vom Punkt definierte Morphismus. Bei dieser Abbildung wird also ein Punkt ${}Q\in C$ , ${}Q\neq P$ , auf die durch ${}Q$ und ${}P$ gegebene Sekante abgebildet.

Sei ${}K={\mathbb {C} }$ und sei ${}Q_{n}$ eine Folge auf ${}C$ , die in der komplexen Topologie gegen ${}P$ konvergiert. Konvergiert ${}\varphi (Q_{n})$ ?
Besitzt ${}\varphi (Q_{n})$ einen Häufungspunkt?
Es sei ${}P$ ein glatter Punkt. Zeige, dass es eine Fortsetzung des Morphismus auf ganz ${}C$ gibt.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper der Charakteristik ${}0$ und sei ${}C\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ eine irreduzible ebene projektive Kurve vom Grad ${}d$ und sei

\varphi \colon C\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}

der durch eine Projektion weg von einem Punkt ${}P\notin C$ definierte Morphismus. Zeige, dass bis auf endlich viele Ausnahmen die Faser zu jedem Punkt ${}t\in {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ aus genau ${}d$ Punkten besteht.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein algebraisch abgeschlossener Körper und ${}C\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ eine glatte Kurve vom Grad ${}d\geq 2$ . Zeige, dass es einen Morphismus ${}C\rightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ derart gibt, dass jede Faser aus maximal ${}d-1$ Punkten besteht.

Aufgabe

Es sei ${}C=V_{+}{\left(X^{3}+Y^{3}+Z^{3}\right)}\subset {\mathbb {P} }_{K}^{2}$ die Fermat-Kubik über einem algebraisch abgeschlossenen Körper der Charakteristik ${}\neq 3$ . Beschreibe explizit einen Morphismus ${}C\rightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ , bei dem über jedem Punkt maximal zwei Punkte liegen.

Aufgabe

Es sei ${}C$ eine irreduzible glatte projektive Kurve mit Funktionenkörper ${}Q(C)=$ und ${}q\in Q(C)$ mit zugehörigem Morphismus

q\colon C\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}.

Sei ${}a\in K$ . Zeige, dass es einen Automorphismus

\theta \colon {\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}

derart gibt, dass das Diagramm

{\begin{matrix}C&{\stackrel {q}{\longrightarrow }}&{\mathbb {P} }_{K}^{1}&\\&\!\!\!\!\!q-a\searrow &\downarrow \theta \!\!\!\!\!&\\&&{\mathbb {P} }_{K}^{1}&\!\!\!\!\!\!\!\!\\\end{matrix}}

kommutiert.

Aufgabe

Es sei ${}C$ eine irreduzible glatte projektive Kurve über einem algebraisch abgeschlossenen Körper und sei ${}q\in Q(C)$ ein nichtkonstantes Element im Funktionenkörper ${}Q(C)$ mit dem zugehörigen Morphismus

q\colon C\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1}.

Zeige, dass zu jedem Punkt ${}P\in {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ die zurückgezogenen Divisoren ${}q^{*}(P)$ untereinander linear äquivalent sind.

Verwende Aufgabe 29.8.

Aufgabe

Es sei ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}=\operatorname {Proj} {\left(K[X,Y]\right)}$ die projektive Gerade mit Funktionenkörper ${}K(t)$ , ${}t={\frac {Y}{X}}$ . Beschreibe den zugehörigen Schemamorphismus

{\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1},\,t\longmapsto t^{n}

für ${}n\in \mathbb {N} _{+}$ . Was ist das Urbild des Nullpunktes, was ist das Urbild des unendlich fernen Punktes, wie sehen die Verzweigungsordnungen aus?

Aufgabe

Es sei ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}=\operatorname {Proj} {\left(K[X,Y]\right)}$ die projektive Gerade mit Funktionenkörper ${}K(t)$ , ${}t={\frac {Y}{X}}$ , und sei ${}P\in K[t]$ ein Polynom vom Grad ${}e\geq 1$ . Beschreibe die Verzweigungsordnung in ${}\infty$ für den zugehörigen Schemamorphismus

{\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1},\,t\longmapsto P.

Aufgabe *

Es seien ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}=\operatorname {Proj} {\left(K[X,Y]\right)}$ und ${}{\mathbb {P} }_{K}^{1}=\operatorname {Proj} {\left(K[W,Z]\right)}$ projektive Geraden mit den Funktionenkörpern ${}K(t)$ , ${}t={\frac {Y}{X}}$ bzw. ${}K(u)$ , ${}u={\frac {Z}{W}}$ über einem algebraisch abgeschlossenen Körper ${}K$ der Charakteristik ${}\neq 2$ . Wir betrachten auf der zweiten projektiven Geraden das durch ${}WZ,W^{2}+Z^{2}\in \Gamma {\left({\mathbb {P} }_{K}^{1},{\mathcal {O}}_{{\mathbb {P} }_{K}^{1}}(2)\right)}$ gegebene lineare System mit der zugehörigen Abbildung

\varphi \colon {\mathbb {P} }_{K}^{1}\longrightarrow {\mathbb {P} }_{K}^{1},\,(w,z)\longmapsto (wz,w^{2}+z^{2}).

Handelt es sich um ein volles lineares System?
Bestimme die Urbilder zu ${}D_{+}(X)$ und ${}D_{+}(Y)$ und beschreibe die induzierten Abbildungen zwischen den affinen offenen Teilmengen.
Handelt es sich um ein basispunktfreies lineares System?
Beschreibe die zugehörige Körpererweiterung
${}K(t)\subseteq K(u)\,$

der Funktionenkörper. Welchen Grad besitzt sie?
Bestimme für jeden Punkt ${}(x,y)\in {\mathbb {P} }_{K}^{1}$ das Urbild unter ${}\varphi$ sowie die jeweilige Verzweigungsordnung.
Beschreibe den zurückgezogenen Divisor ${}\varphi ^{*}(0-\infty )=\varphi ^{*}((Y)-(X))$ .

Aufgabe

Es sei ${}X$ ein normales noethersches integres Schema über einem Körper ${}K$ und sei ${}q\in Q(X)$ ein Element des Funktionenkörpers von ${}X$ . Zeige, dass ${}q$ auf einer offenen Menge ${}U\subseteq X$ einen Morphismus