Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Vorlesung 5

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Gruppenhomomorphismen

Definition  

Seien und Gruppen. Eine Abbildung

heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit

für alle gilt.

Die Menge der Gruppenhomomorphismen von nach wird mit

bezeichnet. Aus der linearen Algebra sind vermutlich die linearen Abbildungen zwischen Vektorräume bekannt, welche insbesondere Gruppenhomomorphismen sind, darüber hinaus aber auch noch mit der skalaren Multiplikation verträglich sind. Die folgenden beiden Lemmata folgen direkt aus der Definition.



Lemma  

Es seien und Gruppen und sei ein Gruppenhomomorphismus.

Dann ist und für jedes .

Beweis  

Zum Beweis der ersten Aussage betrachten wir

Durch Multiplikation mit folgt .
Zum Beweis der zweiten Behauptung verwenden wir

Das heißt, dass die Eigenschaft besitzt, die für das Inverse von charakteristisch ist. Da das Inverse in einer Gruppe nach Fakt ***** eindeutig bestimmt ist, muss gelten.



Lemma

Es seien Gruppen.

Dann gelten folgende Eigenschaften.

  1. Die Identität

    ist ein Gruppenhomomorphismus.

  2. Sind und Gruppenhomomorphismen, so ist auch die Hintereinanderschaltung ein Gruppenhomomorphismus.
  3. Ist eine Untergruppe, so ist die Inklusion ein Gruppenhomomorphismus.
  4. Sei die triviale Gruppe. Dann ist die Abbildung , die auf schickt, ein Gruppenhomomorphismus. Ebenso ist die (konstante) Abbildung ein Gruppenhomomorphismus.

Beweis

Das ist trivial.



Beispiel  

Betrachte die additive Gruppe der reellen Zahlen, also , und die multiplikative Gruppe der positiven reellen Zahlen, also . Dann ist die Exponentialabbildung

ein Gruppenisomorphismus. Dies beruht auf grundlegenden analytischen Eigenschaften der Exponentialfunktion. Die Homomorphieeigenschaft ist lediglich eine Umformulierung des Exponentialgesetzes

Die Injektivität der Abbildung folgt aus der strengen Monotonie, die Surjektivität folgt aus dem Zwischenwertsatz. Die Umkehrabbildung ist der natürliche Logarithmus, der somit ebenfalls ein Gruppenisomorphismus ist.




Lemma  

Sei eine Gruppe.

Dann entsprechen sich eindeutig Gruppenelemente und Gruppenhomomorphismen von nach über die Korrespondenz

Beweis  

Sei fixiert. Dass die Abbildung

ein Gruppenhomomorphismus ist, ist eine Umformulierung der Potenzgesetze. Wegen erhält man aus der Potenzabbildung das Gruppenelement zurück. Umgekehrt ist ein Gruppenhomomorphismus durch eindeutig festgelegt, da für positiv und für negativ gelten muss.


Man kann den Inhalt dieses Lemmas auch kurz durch ausdrücken. Die Gruppenhomomorphismen von einer Gruppe nach sind schwieriger zu charakterisieren. Die Gruppenhomomorphismen von nach sind die Multiplikationen mit einer festen ganzen Zahl , also



Gruppenisomorphismen

Definition  

Seien und Gruppen. Einen bijektiven Gruppenhomomorphismus

nennt man einen Isomorphismus (oder eine Isomorphie). Die beiden Gruppen heißen isomorph, wenn es einen Isomorphismus zwischen ihnen gibt.



Lemma  

Seien und Gruppen und sei

ein Gruppenisomorphismus.

Dann ist auch die Umkehrabbildung

ein Gruppenisomorphismus.

Beweis  

Dies folgt aus


Isomorphe Gruppen sind bezüglich ihrer gruppentheoretischen Eigenschaften als gleich anzusehen. Isomorphismen einer Gruppe auf sich selbst nennt man auch Automorphismen. Wichtige Beispiele für Automorphismen sind die sogenannten inneren Automorphismen.


Definition  

Sei eine Gruppe und fixiert. Die durch definierte Abbildung

heißt innerer Automorphismus.



Lemma  

Ein innerer Automorphismus ist in der Tat

ein Automorphismus.

Die Zuordnung

ist ein Gruppenhomomorphismus.

Beweis  

Es ist

so dass ein Gruppenhomomorphismus vorliegt. Wegen

ist einerseits

so dass bijektiv, also ein Automorphismus, ist. Andererseits ist deshalb die Gesamtabbildung ein Gruppenhomomorphismus.


Wenn eine kommutative Gruppe ist, so ist wegen die Identität der einzige innere Automorphismus. Der Begriff ist also nur bei nicht kommutativen Gruppen von Interesse.



Der Kern eines Gruppenhomomorphismus

Definition  

Seien und Gruppen und sei

ein Gruppenhomomorphismus. Dann nennt man das Urbild des neutralen Elementes den Kern von , geschrieben



Lemma  

Seien und Gruppen und sei

ein Gruppenhomomorphismus.

Dann ist der Kern von eine Untergruppe von .

Beweis  

Wegen ist . Seien . Dann ist

und daher ist auch . Der Kern ist also ein Untermonoid. Sei nun und betrachte das inverse Element . Nach Fakt ***** ist

also auch .


Group homomorphism.svg




Lemma  

Seien und Gruppen.

Ein Gruppenhomomorphismus ist genau dann injektiv, wenn der Kern von trivial ist.

Beweis  

Wenn injektiv ist, so darf auf jedes Element höchstens ein Element aus gehen. Da auf geschickt wird, darf kein weiteres Element auf gehen, d.h. . Sei umgekehrt dies der Fall und sei angenommen, dass beide auf geschickt werden. Dann ist

und damit ist , also nach Voraussetzung und damit .



Das Bild eines Gruppenhomomorphismus



Lemma  

Seien und Gruppen und sei ein Gruppenhomomorphismus.

Dann ist das Bild von eine Untergruppe von .

Beweis  

Sei . Dann ist . Seien . Dann gibt es mit und . Damit ist . Ebenso gibt es für ein mit . Somit ist .



Beispiel  

Betrachte die analytische Abbildung

Aufgrund des Exponentialgesetzes (bzw. der Additionstheoreme für die trigonometrischen Funktionen) ist . Daher liegt ein Gruppenhomomorphismus von der additiven Gruppe in die multiplikative Gruppe vor. Wir bestimmen den Kern und das Bild dieser Abbildung. Für den Kern muss man diejenigen reellen Zahlen bestimmen, für die

ist. Aufgrund der Periodizität der trigonometrischen Funktionen ist dies genau dann der Fall, wenn ein ganzzahliges Vielfaches von ist. Der Kern ist also die Untergruppe . Für einen Bildpunkt gilt , so dass der Bildpunkt auf dem komplexen Einheitskreis liegt. Andererseits durchlaufen die trigonometrischen Funktionen den gesamten Einheitskreis, so dass die Bildgruppe der Einheitskreis mit der komplexen Multiplikation ist.




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