Kurs:Einführung in die Algebra (Osnabrück 2009)/Vorlesung 5

Gruppenhomomorphismen

Definition

Es seien $(G,\circ ,e_G)$ und $(H,\circ ,e_H)$ Gruppen. Eine Abbildung

$\psi :G⟶H$

heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit

$\psi (g\circ g^{\prime })=\psi (g)\circ \psi (g^{\prime })$

für alle  $g,g^{\prime }\in G$  gilt.

Die Menge der Gruppenhomomorphismen von $G$ nach $H$ wird mit

$\mathrm{Hom}(G,H)$

bezeichnet. Aus der linearen Algebra sind vermutlich die linearen Abbildungen zwischen Vektorräume bekannt, welche insbesondere Gruppenhomomorphismen sind, darüber hinaus aber auch noch mit der skalaren Multiplikation verträglich sind. Die folgenden beiden Lemmata folgen direkt aus der Definition.

Lemma

Es seien $G$ und $H$ Gruppen und $\phi :G\to H$ sei ein Gruppenhomomorphismus.

Dann ist  $\phi (e_G)=e_H$  und  $(\phi (g){)}^{-1}=\phi \left(g^{-1}\right)$  für jedes  $g\in G$. 

Beweis

Zum Beweis der ersten Aussage betrachten wir

$\phi (e_G)=\phi (e_G{e}_G)=\phi (e_G)\phi (e_G).$

Durch Multiplikation mit $\phi (e_G{)}^{-1}$ folgt  $e_H=\phi (e_G)$. 
Zum Beweis der zweiten Behauptung verwenden wir

$\phi \left(g^{-1}\right)\phi (g)=\phi \left(g^{-1}g\right)=\phi (e_G)=e_H.$

Das heißt, dass $\phi \left(g^{-1}\right)$ die Eigenschaft besitzt, die für das Inverse von $\phi (g)$ charakteristisch ist. Da das Inverse in einer Gruppe nach Lemma 1.7 eindeutig bestimmt ist, muss  $\phi \left(g^{-1}\right)=(\phi (g){)}^{-1}$  gelten.

$◻$

Lemma

Es seien $F,G,H$ Gruppen. Dann gelten folgende Eigenschaften.

1. Die Identität

   $\mathrm{Id}:G⟶G$

   ist ein Gruppenhomomorphismus.

2. Sind $\phi :F\to G$ und $\psi :G\to H$ Gruppenhomomorphismen, so ist auch die Hintereinanderschaltung $\psi \circ \phi :F\to H$ ein Gruppenhomomorphismus.
3. Ist  $F\subseteq G$  eine Untergruppe, so ist die Inklusion $F\hookrightarrow G$ ein Gruppenhomomorphismus.
4. Es sei $\{e\}$ die triviale Gruppe. Dann ist die Abbildung $\{e\}\to G$, die $e$ auf $e_G$ schickt, ein Gruppenhomomorphismus. Ebenso ist die (konstante) Abbildung $G\to \{e\}$ ein Gruppenhomomorphismus.

Beweis

Das ist trivial.

$◻$

Beispiel

Betrachte die additive Gruppe der reellen Zahlen, also $(ℝ,0,+)$, und die multiplikative Gruppe der positiven reellen Zahlen, also $({ℝ}_{+},1,\cdot )$. Dann ist die Exponentialabbildung

$\exp :ℝ⟶{ℝ}_{+},x⟼\exp (x),$

ein Gruppenisomorphismus. Dies beruht auf grundlegenden analytischen Eigenschaften der Exponentialfunktion. Die Homomorphieeigenschaft ist lediglich eine Umformulierung der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion

$\exp (x+y)=e^{x+y}=e^x{e}^y=\exp (x)\exp (y).$

Die Injektivität der Abbildung folgt aus der strengen Monotonie, die Surjektivität folgt aus dem Zwischenwertsatz. Die Umkehrabbildung ist der natürliche Logarithmus, der somit ebenfalls ein Gruppenisomorphismus ist.

Lemma

Es sei $G$ eine Gruppe.

Dann entsprechen sich eindeutig Gruppenelemente  $g\in G$  und Gruppenhomomorphismen $\phi$ von $\mathbb{Z}$ nach $G$ über die Korrespondenz

$g⟼(n\mapsto g^n)\text{ und }\phi ⟼\phi (1).$

Beweis

Es sei  $g\in G$  fixiert. Dass die Abbildung

${\phi }_g:\mathbb{Z}⟶G,n⟼g^n,$

ein Gruppenhomomorphismus ist, ist eine Umformulierung der Potenzgesetze. Wegen  ${\phi }_g(1)=g^1=g$  erhält man aus der Potenzabbildung das Gruppenelement zurück. Umgekehrt ist ein Gruppenhomomorphismus $\phi :\mathbb{Z}\to G$ durch $\phi (1)$ eindeutig festgelegt, da  $\phi (n)=(\phi (1){)}^n$  für $n$ positiv und  $\phi (n)={((\phi (1){)}^{-1})}^{-n}$  für $n$ negativ gelten muss.

$◻$

Man kann den Inhalt dieses Lemmas auch kurz durch $G\cong {\mathrm{Hom}}_{}^{}(\mathbb{Z},G)$ ausdrücken. Die Gruppenhomomorphismen von einer Gruppe $G$ nach $\mathbb{Z}$ sind schwieriger zu charakterisieren. Die Gruppenhomomorphismen von $\mathbb{Z}$ nach $\mathbb{Z}$ sind die Multiplikationen mit einer festen ganzen Zahl $a$, also

$\mathbb{Z}⟶\mathbb{Z},x⟼ax.$

Gruppenisomorphismen

Definition

Es seien $G$ und $H$ Gruppen. Einen bijektiven Gruppenhomomorphismus

$\phi :G⟶H$

nennt man einen Isomorphismus (oder eine Isomorphie).

Lemma

Es seien $G$ und $H$ Gruppen und sei

$\phi :G⟶H$

ein Gruppenisomorphismus.

Dann ist auch die Umkehrabbildung

${\phi }^{-1}:H⟶G,h⟼{\phi }^{-1}(h),$

ein Gruppenisomorphismus.

Beweis

Dies folgt aus

$\begin{array}{cc}{\phi }^{-1}\left(h_1{h}_2\right)& ={\phi }^{-1}\left(\phi \left({\phi }^{-1}\left(h_1\right)\right)\phi \left({\phi }^{-1}\left(h_2\right)\right)\right)\\ & ={\phi }^{-1}\left(\phi \left({\phi }^{-1}\left(h_1\right){\phi }^{-1}\left(h_2\right)\right)\right)\\ & ={\phi }^{-1}\left(h_1\right){\phi }^{-1}\left(h_2\right).\end{array}$

$◻$

Isomorphe Gruppen sind bezüglich ihrer gruppentheoretischen Eigenschaften als gleich anzusehen. Isomorphismen einer Gruppe auf sich selbst nennt man auch Automorphismen. Wichtige Beispiele für Automorphismen sind die sogenannten inneren Automorphismen.

Definition

Es sei $G$ eine Gruppe und  $g\in G$  fixiert. Die durch $g$ definierte Abbildung

${\kappa }_g:G⟶G,x⟼gx{g}^{-1},$

heißt innerer Automorphismus.

Lemma

Ein innerer Automorphismus ist in der Tat

ein Automorphismus.

Die Zuordnung

$G⟶\mathrm{Aut}G,g⟼{\kappa }_g,$

ist ein Gruppenhomomorphismus.

Beweis

Es ist

${\kappa }_g(xy)=gxy{g}^{-1}=gx{g}^{-1}gy{g}^{-1}={\kappa }_g(x){\kappa }_g(y),$

sodass ein Gruppenhomomorphismus vorliegt. Wegen

${\kappa }_g({\kappa }_h(x))={\kappa }_g(hx{h}^{-1})=ghx{h}^{-1}{g}^{-1}=ghx(gh{)}^{-1}={\kappa }_{gh}(x)$

ist einerseits

${\kappa }_{g^{-1}}\circ {\kappa }_g={\kappa }_{g^{-1}g}={\mathrm{Id}}_G,$

sodass ${\kappa }_g$ bijektiv, also ein Automorphismus, ist. Andererseits ist deshalb die Gesamtabbildung $\kappa$ ein Gruppenhomomorphismus.

$◻$

Wenn $G$ eine kommutative Gruppe ist, so ist wegen $gx{g}^{-1}=xg{g}^{-1}=x$ die Identität der einzige innere Automorphismus. Der Begriff ist also nur bei nicht kommutativen Gruppen von Interesse.

Der Kern eines Gruppenhomomorphismus

Definition

Es seien $G$ und $H$ Gruppen und sei

$\phi :G⟶H$

ein Gruppenhomomorphismus. Dann nennt man das Urbild des neutralen Elementes den Kern von $\phi$, geschrieben

$\mathrm{kern}\phi ={\phi }^{-1}(e_H)=\{g\in G\mid \phi (g)=e_H\}.$

Lemma

Es seien $G$ und $H$ Gruppen und sei

$\phi :G⟶H$

ein Gruppenhomomorphismus.

Dann ist der Kern von $\phi$ eine Untergruppe von $G$.

Beweis

Wegen  $\phi (e_G)=e_H$  ist  $e_G\in \mathrm{kern}\phi$.  Seien  $g,g^{\prime }\in \mathrm{kern}\phi$.  Dann ist

$\phi (g{g}^{\prime })=\phi (g)\phi (g^{\prime })=e_H{e}_H=e_H$

und daher ist auch  $g{g}^{\prime }\in \mathrm{kern}\phi$.  Der Kern ist also ein Untermonoid. Es sei nun  $g\in \mathrm{kern}\phi$,  wir betrachten das inverse Element $g^{-1}$. Nach Lemma 5.2 ist

$\phi \left(g^{-1}\right)=(\phi (g){)}^{-1}=e_H^{-1}=e_H,$

also auch  $g^{-1}\in \mathrm{kern}\phi$. 

$◻$

Lemma

Es seien $G$ und $H$ Gruppen.

Ein Gruppenhomomorphismus $\phi :G\to H$ ist genau dann injektiv, wenn der Kern von $\phi$ trivial ist.

Beweis

Wenn $\phi$ injektiv ist, so darf auf jedes Element  $h\in H$  höchstens ein Element aus $G$ gehen. Da $e_G$ auf $e_H$ geschickt wird, darf kein weiteres Element auf $e_H$ gehen, d.h.  $\ker \phi =\{e_G\}$.  Es sei umgekehrt dies der Fall und sei angenommen, dass  $g,\tilde{g}\in G$  beide auf  $h\in H$  geschickt werden. Dann ist

$\phi \left(g{\tilde{g}}^{-1}\right)=\phi (g)\phi (\tilde{g}{)}^{-1}=h{h}^{-1}=e_H$

und damit ist  $g{\tilde{g}}^{-1}\in \mathrm{kern}\phi$,  also  $g{\tilde{g}}^{-1}=e_G$  nach Voraussetzung und damit  $g=\tilde{g}$. 

$◻$

Das Bild eines Gruppenhomomorphismus

Lemma

Es seien $G$ und $H$ Gruppen und sei

$\phi :G⟶H$

ein Gruppenhomomorphismus.

Dann ist das Bild von $\phi$ eine Untergruppe von $H$.

Beweis

Es sei  $B:=\mathrm{bild}\phi$.  Dann ist  $e_H=\phi (e_G)\in B$.  Es seien  $h_1,h_2\in B$.  Dann gibt es  $g_1,g_2\in G$  mit $\phi (g_1)=h_1$ und $\phi (g_2)=h_2$. Damit ist  $h_1\cdot h_2=\phi (g_1)\cdot \phi (g_2)=\phi (g_1\cdot g_2)\in B$.  Ebenso gibt es für  $h\in B$  ein $g\in G$ mit $\phi (g)=h$. Somit ist  $h^{-1}=(\phi (g){)}^{-1}=\phi (g^{-1})\in B$. 

$◻$

Beispiel

Betrachte die analytische Abbildung

$ℝ⟶ℂ,t⟼e^{\mathrm{i}t}=\cos t+\mathrm{i}\sin t.$

Aufgrund des Exponentialgesetzes (bzw. der Additionstheoreme für die trigonometrischen Funktionen) ist  $e^{\mathrm{i}(t+s)}=e^{\mathrm{i}t}{e}^{\mathrm{i}s}$.  Daher liegt ein Gruppenhomomorphismus von der additiven Gruppe $(ℝ,+,0)$ in die multiplikative Gruppe $({ℂ}^{\times },\cdot ,1)$ vor. Wir bestimmen den Kern und das Bild dieser Abbildung. Für den Kern muss man diejenigen reellen Zahlen $t$ bestimmen, für die

$\cos t=1\text{ und }\sin t=0$

ist. Aufgrund der Periodizität der trigonometrischen Funktionen ist dies genau dann der Fall, wenn $t$ ein ganzzahliges Vielfaches von $2\pi$ ist. Der Kern ist also die Untergruppe $2\pi \mathbb{Z}$. Für einen Bildpunkt gilt  $|e^{\mathrm{i}t}|={\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t=1$,  sodass der Bildpunkt auf dem komplexen Einheitskreis liegt. Andererseits durchlaufen die trigonometrischen Funktionen den gesamten Einheitskreis, sodass die Bildgruppe der Einheitskreis mit der komplexen Multiplikation ist.

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