Kurs:Einführung in die mathematische Logik/8/Klausur

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Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Punkte 3 3 1 3 3 2 4 4 8 2 2 4 0 6 0 5 50



Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

  1. Eine widersprüchliche Ausdrucksmenge in der Sprache der Aussagenlogik zu einer Aussagenvariablenmenge .
  2. Die Produktmenge aus zwei Mengen und .
  3. Die Ableitbarkeit eines Ausdrucks im prädikatenlogischen Kalkül.
  4. Die Repräsentierbarkeit einer Funktion

    in einer Menge von arithmetischen Ausdrücken.

  5. Das modallogische Möglichkeitsaxiom.
  6. Die Nachfolgermenge in einem gerichteten Graphen.


Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

  1. /Fakt/Name
  2. Der Satz über die Vorgängereigenschaft in einem Peano-Halbring.
  3. /Fakt/Name


Aufgabe * (1 Punkt)

In einer psychologischen Längsschnittstudie wird die Entwicklung von Einstellungen und Verhaltensweisen von Personen untersucht. Ein Fallbeispiel: Im Alter von Jahren geht Linda regelmäßig auf Demonstrationen, sie hilft im Eine-Welt-Laden mit, braut ökologisches Bier, kocht Bio-Gemüse und studiert manchmal Soziologie.

Welcher der folgenden Befunde ist nach 10 Jahren am unwahrscheinlichsten?

  1. Linda arbeitet für eine Versicherungsagentur.
  2. Linda engagiert sich bei Attac und arbeitet für eine Versicherungsagentur.
  3. Linda engagiert sich bei Attac.


Aufgabe * (3 Punkte)

Erläutere das Prinzip Beweis durch Widerspruch für eine Aussage der Form „Aus folgt “.


Aufgabe * (3 Punkte)

Es sei eine Ausdrucksmenge in der Sprache der Aussagenlogik über einer Aussagenvariablenmenge und es sei . Es gelte

Zeige, dass dann

widerspruchsfrei ist.


Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ein Symbolalphabet einer Sprache erster Stufe gegeben, und eine Interpretation mit . Zeige durch ein Beispiel, dass daraus nicht im Allgemeinen die Gültigkeit unter einer Substitution folgt.


Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ein Dedekind-Peano-Modell der natürlichen Zahlen. Zeige, dass die Addition durch die Bedingungen

eindeutig bestimmt ist.


Aufgabe * (4 (1+1+1+1) Punkte)

Es sei eine nichtleere geordnete Menge. Wir betrachten die Relation auf , die durch , falls und gilt, definiert ist.

  1. Ist transitiv?
  2. Ist reflexiv?
  3. Charakterisiere, wann symmetrisch ist.
  4. Ist antisymmetrisch?


Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Satz von Henkin.


Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass mit

auch

gilt.


Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige


Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Isomorphiesatz für (zweitstufige) Dedekind-Peano-Modelle.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (6 (4+2) Punkte)

Es sei

das Symbolalphabet für einen angeordneten Körper und es sei die -Struktur mit der Standardinterpretation.

  1. Zeige, dass die Äquivalenzklassen zur elementaren Äquivalenz einelementig sind.
  2. Zeige, dass es für die Elemente im Allgemeinen keinen charakterisierenden Ausdruck gibt.


Aufgabe (0 Punkte)


Aufgabe * (5 Punkte)

Zeige, dass in einem gerichteten Graphen das modallogische euklidische Axiom genau dann gilt, wenn euklidisch ist.