Kurs:Einführung in die mathematische Logik (Osnabrück 2018)/Arbeitsblatt 23

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Übungsaufgaben

Aufgabe

Epimenides der Kreter sagte: „Alle Kreter sind Lügner“. Ist diese Aussage ein Widerspruch?


Aufgabe

Eine Person sagt: „Ich lüge (jetzt)“. Kann das wahr sein?


Aufgabe

In der Russellsche Antinomie wird die Definition

betrachtet. Kann eine Menge sein?


Aufgabe

Betrachte die Aussage: „Der Barbier von Sevilla rasiert alle Männer, die sich nicht selbst rasieren“. Rasiert er sich selbst?


Aufgabe *

Es sei eine beliebige Menge. Zeige, dass es keine surjektive Abbildung von in die Potenzmenge geben kann.


Aufgabe

Die Klasse 8c hat an jedem Wochentag eine Stunde mathematische Logik. Der Lehrer sagt am Freitag: „nächste Woche werden wir eine Klassenarbeit schreiben, und das wird eine Überraschung sein“. Begründe, dass der Lehrer lügt.


Aufgabe

Das Brennersche Putzparadoxon besagt: „Immer wenn ich putze, sieht es danach so aus, wie bei einer durchschnittlichen Hausfrau vor dem Putzen“. Ist dies ein Widerspruch, eine Antinomie, ein Paradoxon, oder einfach nur mangelndes Talent?


Aufgabe

Eine natürliche Zahl heißt besonders, wenn sie eine für sie spezifische, benennbare Eigenschaft erfüllt. Die ist als neutrales Element der Addition und die ist als neutrales Element der Multiplikation besonders. Die ist die erste Primzahl, die ist die kleinste ungerade Primzahl, die ist die erste echte Quadratzahl, die ist die Anzahl der Finger einer Hand, die ist die kleinste aus verschiedenen Faktoren zusammengesetzte Zahl, die ist die Anzahl der Zwerge im Märchen, u.s.w., diese Zahlen sind also alle besonders. Gibt es eine Zahl, die nicht besonders ist? Gibt es eine kleinste Zahl, die nicht besonders ist?


Aufgabe

Es sei eine korrekte entscheidbare arithmetische Ausdrucksmenge, die die Peano-Arithmetik umfasse. Es sei das zugehörige Ableitungsprädikat. Zeige aus den in Bemerkung 23.7 aufgeführten Eigenschaften für einen Fixpunkt mit

dass weder noch gilt.


Aufgabe

Es sei eine korrekte entscheidbare arithmetische Ausdrucksmenge, die die Peano-Arithmetik umfasse. Es sei das zugehörige Beweisbarkeitsprädikat und es sei ein Fixpunkt zum negierten Ableitungsprädikat, also

  1. Welche Eigenschaften aus Bemerkung 23.7 gelten in ?
  2. Gilt

    in ?

  3. Welche der Ausdrücke gelten in ?


Aufgabe *

Es sei eine arithmetische Ausdrucksmenge und ein einstelliges Prädikat mit

für alle . Zeige, dass es einen Satz mit

gibt.


Aufgabe

Es sei eine arithmetische Ausdrucksmenge und ein einstelliges Prädikat mit

für alle . Zeige, dass es einen Satz mit

gibt.


Aufgabe

Wir setzen

und es sei die Gödelisierung mit Primzahlen vorausgesetzt. Zeige (ohne den Fixpunktsatz zu verwenden), dass es einen Satz mit

gibt.


Aufgabe

Es sei eine fixierte positive natürliche Zahl und es sei

wobei als die -fache Addition von mit sich selbst realisiert werde. Es sei die Gödelisierung mit Primzahlen vorausgesetzt. Zeige (ohne den Fixpunktsatz zu verwenden), dass es einen Satz mit

gibt.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Es seien natürliche Zahlen und sei

wobei durch die -fache Summe der mit sich selbst realisiert werde. Zeige, dass es Sätze mit

und mit

gibt.


Aufgabe (3 Punkte)

Folgere aus dem ersten Gödelschen Unvollständigkeitssatz die Unentscheidbarkeit der Arithmetik.


Aufgabe (6 Punkte)

Es sei eine korrekte entscheidbare arithmetische Ausdrucksmenge, die die Peano-Arithmetik umfasse. Es sei das Ableitungsprädikat zu und es sei ein Fixpunkt zum negierten Ableitungsprädikat, also

Zeige, dass aus den in Bemerkung 23.7 angeführten Eigenschaften man

erhalten kann, wobei ein beliebiger Ausdruck ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Es sei eine korrekte entscheidbare arithmetische Ausdrucksmenge, die die Peano-Arithmetik umfasse. Es sei das zugehörige Beweisbarkeitsprädikat und es sei ein Fixpunkt zum negierten Ableitungsprädikat, also

Zu einem beliebigen Ausdruck betrachten wir . Welche der Ausdrücke

gelten in ?


Aufgabe (4 (2+2) Punkte)

Es sei eine arithmetische Ausdrucksmenge und ein einstelliges Prädikat.

  1. Es gelte

    für endlich viele und für alle übrigen natürlichen Zahlen gelte

    Zeige, dass es einen Satz mit

    gibt.

  2. Es gelte

    für endlich viele und für alle übrigen natürlichen Zahlen gelte

    Zeige, dass es einen Satz mit

    gibt.



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